Финансовый анализ и инвестиционная оценка предприятия. Улыбка волатильности на форекс – как ключевой индикатор риска Вмененная волатильность и улыбка волатильности

Под таким красивым понятием, как улыбка волатильности, понимается закономерность, характерная для большинства опционов.

А именно: ожидаемая волатильность по опционам по одному активу, но с разными страйками, в большинстве случаев может быть выражена в виде дуги, центр которой смещён книзу. Другими словами, чем дальше цена исполнения отличается от текущей рыночной цены, тем больше волатильность.

Разъясним понятия:

Ожидаемая (вменённая) волатильность — отражает ожидания рынка по поводу изменения цены конкретного базового актива в будущем.

Страйк – цена исполнения, по которой опцион будет (или не будет) реализован покупателем.
Всё сказанное выше сводится к одному тезису: чем больше отклонение страйка опциона от текущей рыночной цены данного актива, тем больше неуверенность рынка относительно того, что цена на момент исполнения достигнет этого значения (что вполне объяснимо). И тем больше риск, что на момент исполнения опциона цена не позволит получить по нему прибыль.

Последнее касается как покупателей опционов, прибыль которых заключена в движении цены в нужном им направлении, так и для продавцов, которые желали бы, чтобы покупатель не стал использовать своё право, так как это лишит их премии.

Об искривлениях «Улыбки волатильности»

Если посмотреть на графики, то можно заметить, что «Улыбка» получается, как правило, совсем не ровная, её правый край поднят значительно меньше, чем нижний. Это является графическим отображением ещё одной весьма важной тенденции, которая в простых словах выражается так:

Риск внезапного падения цены актива всегда намного выше, чем риск внезапного роста.

Именно по этой причине левая часть графика (которая означает повышение цены актива) стремится вверх далеко не так быстро, как правая.

Подчеркнём, что таким образом «Улыбка волатильности» в основном выглядит для графиков, отображающих опционную волатильность по акциям и другим фондовым активам.

Для любой акции всегда есть риск внезапного падения ее стоимости – например, если компания, выпустившая эту акцию, потерпит крах. Расстояние от нуля до текущей цены акции и является тем максимальным расстоянием, которое она может преодолеть. Представить, что цена акции внезапно сделает такой же ход в сторону роста, очень сложно, потому что трудно придумать событие, способное вызвать такое развитие событий.

В целом график «Улыбка волатильности» означает, что продажа опционов Put почти всегда выгоднее, чем продажа опционов Call, с покупкой же всё обстоит ровно наоборот.

Улыбка волатильности — это аномальный паттерн на опционов. Для конкретной экспирации, опционы, чьи страйки сильно отличаются от текущей цены базового актива (то есть опционы глубоко-вне-денег и опционы глубоко-в-деньгах), показывают более высокие цены (и, следовательно, более высокую вмененную волатильность), чем этого требует стандартная модель оценки опционов.

График зависимости вмененной волатильности от цены страйка для конкретной экспирации дает сдвинутую “улыбку” вместо ожидаемой плоской поверхности. Паттерн различается по рынкам. Опционы на акции, торгуемые на американских рынках, не показывали улыбки волатильности до краха 1987 года, но стали показывать ее после. Считается, что переоценка инвесторами вероятности событий “черного лебедя” привела к более высоким ценам для опционов вне денег. Эта аномалия указывает на неэффективность стандартной модели оценки опционов Блэка-Шоулза (Black-Scholes), которая считает константой, а изменения цен базового актива логнормальными. Эмпирические распределения ценовых изменений, однако, склонны показывать “ ” (эксцесс) и ассимметрию. Моделирование улыбки волатильность — активная область исследований в количественных финансах, так же, как и поиски лучшей модели оценки цен опционов, например, через модели стохастической волатильности.

Вмененная волатильность и улыбка волатильности

В модели Блэка-Шоулза теоретическая стоимость простого опциона — монотонно возрастающая функция волатильности базового актива. Следовательно, за исключением случая американских опционов с дивидендами, чье раннее исполнение может быть оптимальным, цена это строго возрастающая функция волатильности. Это значит, что обычно возможно вычислить уникальную вмененную волатильность из имеющейся на рынке цены опциона. Эту вмененную волатильность лучше всего рассматривать как нормировку цен опционов для более простого и интуитивного сравнения цен опционов по разным страйкам, экспирациям и базовым активам.

Если нарисовать график зависимости вмененной волатильности от цены страйков, линия обычно идет с наклоном вниз для рынков акций или образует долину для рынков валют. Для рынков, где график наклонен вниз, часто используется термин “наклон волатильности” (volatility skew). Для других рынков, таких как опционы на валюты или индексы акций, где обычно график идет вверх на обоих концах, используется привычный термин “улыбка волатильности”. На рынках акций иногда наблюдается небольшая наклоненная улыбка вблизи денег, как изгиб на общем наклоне вниз, иногда для таких скошенных улыбок используется термин “ухмылка волатильности”(volatility smirk).

Временная структура волатильности (term structure)

Для опционов различных сроков истечения тоже можно заметить различия во вмененной волатильности. Однако в этом случае, определяющим эффектом является ожидание рынком воздействия входящих событий. Например, хорошо замечено, что реализованная волатильность цены акции значительно вырастает в день, когда компания выпускает отчет о прибылях. Соответственно, вмененная волатильность опционов на акцию вырастает за период, предшествующий этому отчету, а после падает по мере того, как цена на акцию отрабатывает новую информацию. Опционы с более близкими экспирациями показывают более сильные колебания вмененной волатильности (иногда называемые “волатильностью на волатильность”, “vol of vol”), чем опционы с дальними экспирациями.

Другие опционные рынки показывают другое поведение. Например, опционы на товарные фьючерсы обычно показывают увеличение вмененной волатильности прямо перед выходом прогнозов по урожаю. Опционы на фьючерсы на американские правительственные облигации показывают увеличение вмененной волатильности прямо перед заседанием Federal Reserve Board (когда объявляются изменения в краткосрочных процентных ставках).

Рынок отражает много других типов событий во временной структуре волатильности. Например, влияние ожидаемых результатов испытаний лекарств может вызвать колебания вмененной волатильности акций фармацевтических компаний. Ожидаемые результаты патентных споров могут повлиять на акции технологических компаний и т.д.

Временная струкутура волатильности отражает взаимосвязь между вмененной волатильностью и временем до экспирации. Она дает еще один метод, с помощью которого трейдеры могут находить недооцененные или пероцененные опционы.

Поверхность волатильности

Часто бывает полезно отобразить график вмененной волатильности как функцию и цены страйков, и времени до экспирации. Результатом является трехмерная поверхность, где по оси Z отражена текущая рыночная вмененная волатильность для всех опционов базового актива, по оси Y цены страйков, по оси X время до экспирации.

Если вы слышали выражение «торговля волатильностью», то вы не ослышались. Такой способ извлечения прибыли применяется на операциях с опционами. Я предполагаю, что читатель располагает минимально необходимым объемом знаний о них и представляет, что опцион - это контракт, дающий право, но не обязывающий купить или продать определенный актив по заранее установленной цене - цене страйк. По своей сути, это сделка, где две стороны заключают пари, что некоторый актив через определенное время будет стоить больше или меньше установленной заранее цены.

Опцион, дающий право купить актив, называется опционом «колл» (call), а право продать - опционом «пут» (put). Покупатель опциона может не требовать исполнения своего права по нему, если это невыгодно, в то время как продавец обязан исполнить требование покупателя. За свое право последний выплачивает продавцу премию, размер которой зависит от вероятности достижения базовым активом цены страйк. Эта премия - и есть цена опциона, определяемая в процессе торгов. Таким образом, убытки покупателя и доход продавца всегда ограничены премией. Поэтому зачастую опционы используют для хеджирования (страхования) открытых позиций по какому-либо активу.

Но есть круг инвесторов и трейдеров, которые зарабатывают деньги на операциях с опционами, их и называют «торговцами волатильностью». Давайте попробуем разобраться, почему их так называют и сложно ли самому торговать волатильностью.

Стоимость опциона и волатильность

Важным фактором, влияющим на цену опциона, является волатильность базового актива. Волатильность, или стандартное отклонение в терминологии математической статистики, является мерой изменчивости базового актива, то есть силы его ценовых колебаний. Более сильные исторические колебания цены актива дают большие значения волатильности. Как правило, ее рассчитывают на основе исторических временных рядов как среднеквадратичное отклонение. Рассчитанная таким способом волатильность называется исторической (historical volatility).

Разработано множество моделей определения взаимозависимости цены опциона и волатильности актива, но наиболее популярной является формула Блэка-Шоулза . Данная модель позволяет определить теоретическую стоимость опциона по исходным данным: цене базового актива и волатильности, цене страйк и времени до экспирации (даты истечения опциона), процентной ставке на денежном рынке и дивидендам по акции. Определить цену опциона исходя из данных параметров достаточно просто, реализовав эту формулу в электронных таблицах или воспользовавшись опционным калькулятором, коих можно найти великое множество в интернете.

По существу самое большое влияние на цену опциона оказывают два параметра: цена страйк (цена исполнения) и волатильность. Поэтому если вы, например, предполагаете, что цена акции не сильно изменится в течение небольшого периода времени, но будет колебаться с возрастающей силой, то, купив опцион, вы сможете продать его дороже. Чем больше волатильность, тем дороже опцион (выше премия), и наоборот. Эту взаимосвязь и используют торговцы волатильностью.

Получается, что, приобретая опцион, вы делаете ставки либо на то, что цена акции, которая лежит в основе контракта, вырастет или упадет, либо на изменение волатильности. При этом вы всегда знаете максимальный размер убытка, который ограничен премией опциона (это правило для покупателя), в отличие от простой покупки акции, когда заранее оценить потенциально возможные убытки проблематично.

На первый взгляд все достаточно просто, и нет никакого волшебства. Но все же есть несколько нюансов, которые необходимо учитывать при операциях с опционами. Остановимся на них чуть подробнее, чтобы не совершать непоправимых ошибок.

Фактическая волатильность

В торговле волатильностью необходимо учитывать, что при операциях с опционами на биржевых площадках рыночные игроки закладывают некоторые поправки при оценке волатильности в зависимости от того, насколько текущая цена акции отличается от цены исполнения.

В формулах для теоретической стоимости опционов часто используется историческая волатильность, которая предполагается одинаковой для всех значений страйков и рассчитывается как сила исторических колебаний акции. Если в этом случае изобразить график зависимости волатильности опционов одной серии от цены страйк при фиксированной цене базового актива, то он будет представлять собой горизонтальную прямую. На практике же волатильность, которую рыночные игроки закладывают в цену опционов, не совпадает с теоретической. Такая волатильность называется подразумеваемой (implied volatility). В результате при изображении сложившихся на торгах цен опционов и соответствующей им подразумеваемой волатильности на графике можно увидеть так называемую улыбку волатильности (volatility smile) (см. график 1 ).

Такая форма кривой имеет простое объяснение: дело в том, что фактическое распределение дневных изменений цены отличается от принятого в теории. Это в первую очередь связано с некоторыми свойствами реальных изменений цен акций, где вероятность резких движений базового актива гораздо выше, чем при теоретическом логнормальном. Как следствие, опционы «глубоко вне денег» (страйк находится далеко от текущей цены, и премия по нему очень низкая) имеют более высокую подразумеваемую волатильность, а соответственно, и цену выше, чем теоретическая. То есть продавцы опционов учитывают более высокую вероятность существенных колебаний по сравнению с логнормальным распределением, которая для них может быть сопряжена со значительными и даже, возможно, необратимыми убытками, что особенно характерно для опционов «глубоко вне денег». Поэтому продавцы увеличивают цену продажи этих опционов по сравнению с теоретическими, от которых реальные значения могут отличаться в несколько раз, как в денежном выражении, так и в значениях волатильности.

Заметим, что в торговых программах и платформах нет необходимости заниматься расчетами и оценками, а можно настроить параметры таким образом, чтобы видеть предполагаемую волатильность по реальным сделкам с опционами.

Ухмылка волатильности

Но большее значение для рыночных игроков имеет не «улыбка волатильности», а ситуации, когда кривая становится несимметричной. В случаях, когда асимметрия кривой становится заметной, улыбку принято называть «ухмылкой волатильности» (volatility smirk). Наклон края улыбки называется «наклоном» или «перекосом волатильности» (volatility skew). Если на графике присутствует «ухмылка», это может говорить о наличии повышенного риска движения цены базового актива в определенном направлении, а величина наклона кривой - частично о силе таких ожиданий.

Такая ситуация возникает тогда, когда рынок «предполагает», что в одном из направлений возможно более значительное и резкое изменение цены базисного актива, чем в другом, либо большая часть игроков страхуется от движения цены актива в данном направлении. То есть рыночные игроки ожидают большего движения котировок в ту сторону, в которую смещена улыбка. Например, если ожидается резкое падение цены, то подразумеваемая волатильность опционов «пут» «вне денег» будет больше, чем у опционов «колл» «вне денег», чьи страйки симметрично расположены по отношению к центральному, а это приводит к приподнятости левой ветви кривой по отношению к правой, то есть мы видим на графике «левую ухмылку». Такую форму «улыбки волатильности» можно наблюдать большую часть времени - особенно ярко данный эффект наблюдается после периодов обвальных падений, таких как прошедший финансовый кризис.

Причиной такой формы является «крахофобия» трейдеров и инвесторов, у которых свежа память о последнем обвале, что и отражается в цене «путов» «глубоко вне денег». Таким образом, в посткризисные периоды стоит обращать внимание на наклон «ухмылки волатильности», который и будет сигнализировать об изменении ожиданий рыночных игроков. И важным показателем становится перекос или скручивание «ухмылки волатильности» в периоды после обвальных падений.

В качестве примера возьмем (см. график 2 ) кривые волатильности для опционов на индекс РТС с разными сроками исполнения (12 и 74 дня). График построен на основе данных на конец дня 2 июля 2009 года по результатам торгов на рынке FORTS, и мы видим на нем «ухмылку волатильности» с большим наклоном.

Стратегии торговли

В заключение рассмотрим два небольших примера, иллюстрирующих, как можно было заработать на операциях с опционами и торговле волатильностью.

Перенесемся в август 2008 года, когда индекс РТС завис над пропастью перед обвалом фондовых рынков. Остановимся на двух стратегиях с использованием опционов, которые могли принести существенную прибыль.

Первая - одна из самых популярных стратегий - покупка опциона «пут». По своей сути это ставка на то, что базовый актив (в нашем случае индекс РТС) снизится. Убыток ограничен уплаченной премией и реализуется, если актив вырастет или не изменится в цене. Прибыль же неограниченна и реализуется, когда актив падает в цене. Она становится максимальной, если одновременно повышается волатильность, что мы и наблюдали во второй половине 2008-го. Так, например, купив опцион «пут» на индекс РТС в середине августа 2008 года со сроком исполнения полтора-два месяца со страйком 100% рыночной цены, уже через месяц его можно было продать в четыре-пять раз дороже. Как видно, при таком подходе ставка делается не только на рост волатильности, но и важно угадать направление движения актива.

Поэтому рассмотрим вторую стратегию, которая позволяет не гадать с направлением движения рынка, а зарабатывать только на росте или уменьшении волатильности вне зависимости от направления движения базового актива. Она носит название «длинный стрэддл» (long straddle). Делая ставку на рост волатильности, вы одновременно покупаете опцион «пут» и опцион «колл» с одинаковыми датами и ценами исполнения. В этом случае потенциальные убытки априори ограничены уплаченной премией по опционам, а в случае роста волатильности актива увеличивается и доход по данной позиции вне зависимости от того, растет сам базовый актив или падает. Опять же рассмотрим середину августа 2008 года. Даже если бы вы не были уверены, что падение индекса РТС продолжится, то, следуя данной стратегии, могли бы заработать сотни процентов годовых, так как в последующие месяцы волатильность существенно выросла, увеличив стоимость опционов в разы (см. график 3 ).

Отмечу, конечно, что в данной статье не удалось рассмотреть подробно все возможности и преимущества, которые предоставляют операции на рынке производных инструментов. Но главной задачей было не погружение в теорию вероятности и сложные формулы расчета различных стратегий с использованием опционов, а удовлетворение любопытства читателей к данному рынку и существующим возможностям, которые часто для понимания и реализации выглядят сложнее, чем оказываются на деле.

От редактора

Опцион Насреддина

Несколько лет назад я прочитал статью Олега Коньшина, который когда-то работал в «Финаме», а затем управляющим активами в «Солиде». Тогда я хорошо запомнил, что такое страйк, что такое опцион «вне денег», и решил привести фрагмент этой статьи, опубликованной в журнале РЦБ. Я готов поспорить, что и через 50 лет вы будете помнить, что такое страйк, и готов продать на это событие опцион совсем недорого. Скажем, за $100.

«Суть опционной торговли наиболее ярко представлена в известном историческом анекдоте. Хитроумный герой народного эпоса Ходжа Насреддин, прогуливаясь по рыночной площади, во всеуслышание заявил, что за соответствующую плату может даже животное научить говорить человеческим языком. Падишах, удивленный подобной самоуверенностью, предложил Ходже на практике доказать правоту своих слов - научить говорить осла.

Ходжа Насреддин с готовностью согласился, но при этом заметил, что, поскольку осел отличается исключительной тупостью, то, во-первых, Падишаху придется заплатить много денег, а во-вторых, сам процесс обучения займет много времени - не менее 20 лет. Падишах принял условия, но обещал казнить незадачливого учителя в случае неудачи. Друзья не без основания заподозрили Насреддина в слабоумии. Сам же он чувствовал себя бодро и уверенно, наслаждаясь жизнью на полученные деньги. На недоуменные вопросы, что же он собирается делать, Ходжа мудро отвечал: “Ничего, так как через 20 лет либо Падишах помрет, либо осел”.

На примере этого анекдота можно выделить основные компоненты опционного договора (от англ. option - “выбор”): предмет договора (так называемый страйк) - говорящий осел; Падишах, заплатив премию, получил право требовать исполнения договора через 20 лет; Ходжа Насреддин реализовал мечту любого продавца опциона - получил премию по заведомо нереализуемому страйку (так называемый опцион вне денег). Время - дополнительный участник в споре опционных контрагентов, и именно его взял себе в союзники мудрец».

Продолжаем рассматривать алгоритмы построения улыбки волатильности. В этой статье будем находить "справедливые" цены опционов при помощи модели Хестона, которая относится к так называемым моделям стохастической волатильности. Хестон предложил использовать в качестве модели базового актива систему следующих уравнений:

где - цена и волатильность базового актива соответственно, - случайные броуновские процессы с корреляцией . - это квадратичный процесс с возвратом к среднему (mean reverting) со средним значением и интенсивностью k. - среднеквадратичное отклонение волатильности, r - безрисковая ставка (для маржируемых равна 0, поэтому исключим сразу этот параметр для российского рынка).

Реальное статистическое распределение приращений цен базового актива плохо соответствует Гауссовскому распределению, на основе которого была получена формула Блэка-Шоулза. Модель Хестона может описывать разные стат. распределения, например, коэффициент может быть интерпретирован как корелляция между логарифмом приращения цены и волатильностью актива, что позволяет учитывать эффект "толстых хвостов" распределения. График плотности распределения приращения цены с разными значениями приведен в заглавии поста.

Цена европейского колл опциона для модели Хестона вычисляется по формуле:

Где

для j=1,2, где

Этот набор формул кажется сложным, однако решить их достаточно просто с помощью программы на C#, которая будет приведена ниже. Сложность составляет только вычисление интеграла с верхним бесконечным пределом в формуле для , который находится с помощью числового метода Гаусса-Лагендре в той же программе. Также, для упрощения, можно сократить число параметров, убрав из них меру риска , применив риск-нейтральный подход. В этом случае:

Функция расчета формулы Хестона на языке C#:

//a-нижний предел интеграла (равен 0) //b - верхний предел интеграла. Выбирается значение от 100 до 200, в зависимости от нужной точности //delta - вычисляется грек дельта, который равен значению Р1 в формуле Хестона double HestonCallGaussLegendre(double S,double K,double T,double r,double kappa,double theta, double sigma,double lambda,double v0,double rho,int trap, double a, double b,ref double delta) { // Числовое интегрирование double int1=new double; double int2 = new double; double y; for (int k=0; k< =31; k++) { y = (a + b) / 2.0 + (b - a) / 2.0 * X[k]; int1[k] = W[k]*HestonCF(y,S,K,r,T,rho,kappa,theta,lambda,sigma,v0,1,trap); int2[k] = W[k]*HestonCF(y,S,K,r,T,rho,kappa,theta,lambda,sigma,v0,2,trap); } // Векторы для интегральной суммы double I1 = VectorSum(int1); double I2 = VectorSum(int2); // Определение Р1 и Р2 double P1 = 0.5 + 1.0/Math.PI*I1*(b-a)/2; double P2 = 0.5 + 1.0/Math.PI*I2*(b-a)/2; delta = P1; // Цена колл опциона return S*P1 - K*P2; } // Функция суммирования элементов вектора double VectorSum(double A) { double sum = 0; double n = A.Length; for (int i = 0; i <= n - 1; i++) sum += A[i]; return sum; } private double HestonCF(Complex phi, double Spot, double Strike, double Rate, double T, double Rho, double Kappa, double Theta, double Lambda, double Sigma, double V, int Pnum, int trap) { Complex S=new Complex(Spot , 0.0); // Цена базового актива Complex K=new Complex(Strike, 0.0); // Страйк Complex r=new Complex(Rate , 0.0); // Безрисковая ставка (для марж. опционов =0) Complex tau=new Complex(T , 0.0); // Период до экспирации в долях года Complex i=new Complex(0.0 , 1.0); // Мнимая переменная Complex rho=new Complex(Rho , 0.0); // Параметр Хестона: Корреляция Complex kappa = new Complex(Kappa, 0.0); // Параметр Хестона: Скорость возврата Complex theta = new Complex(Theta, 0.0); // Параметр Хестона: уровень возвратности Complex lambda = new Complex(Lambda, 0.0); // Параметр Хестона: мера риска (равна 0 для риск-нейтрального подхода) Complex sigma = new Complex(Sigma, 0.0); // Параметр Хестона: Среднеквадратичное волатильности Complex v0 = new Complex(V, 0.0); // Параметр Хестона: Текущая волатильность Complex two=new Complex(2.0 , 0.0); // число 2 в комплексной форме Complex one = new Complex(1.0, 0.0); // число 1 в комплексной форме Complex y, a, u, b, sigma2, d, g, G, C, D, c, f; y = rho*sigma*phi*i; a = kappa*theta; if (Pnum==1) { // Первая характеристическая функция u = 0.5; b = kappa + lambda - rho*sigma; } else { // Вторая характеристическая функция u = -0.5; b = kappa + lambda; } sigma2 = Complex.Pow(sigma,2); d = Complex.Sqrt((y-b)*(y-b) - sigma2*(two*u*phi*i - phi*phi)); g = (b - y + d)/(b - y - d); if (trap==1) { // Версия модели "Little Heston Trap" c = one/g; G = (one - c*Complex.Exp(-d*tau))/(one - c); C = r*i*phi*tau + a/sigma2*((b - rho*sigma*i*phi - d)*tau - two*Complex.Log(G)); D = (b - rho * sigma * i * phi - d) / sigma2 * ((one - Complex.Exp(-d * tau)) / (one - c * Complex.Exp(-d * tau))); } else { // Оригинальный вариант Хестона G = (one - g * Complex.Exp(d * tau)) / (one - g); C = r*i*phi*tau + a/sigma2*((b - rho*sigma*i*phi + d)*tau - two*Complex.Log(G)); D = (b - rho * sigma * i * phi + d) / sigma2 * ((one - Complex.Exp(d * tau)) / (one - g * Complex.Exp(d * tau))); } f = Complex.Exp(C + D*v0 + i*phi*Complex.Log(S)); // Вычисление реальной части подинтегрального выражения return (Complex.Exp(-i*phi*Complex.Log(K))*f/i/phi).Real; }

Следующий шаг - определение пяти параметров (V - текущая волатильность). Для этого нужно откалибровать модель по наблюдаемым рыночным ценам опционов. Применяем стандартный метод - берем выборку цен для опционов разных страйков за определенный период времени (вместе со сроками до экспирации), при этом рыночной ценой опциона считаем среднюю цену между бидом и аском ( , и минимизируем следующее выражение, применяя нелинейный метод наименьших квадратов (МНК):

где - вектор параметров, - задаваемые веса (их выбор обсудим позже), N - размер выборки. Выражение в правой части означает,что полученные значения должны попадать в промежуток между бидом и аском наблюдаемых рыночных цен. Это ограничение, равно как и условие MathJax_Preview"> , останавливается и выдает не оптимальные значения. Таким образом, нахождение оптимальных параметров модели Хестона является нетривиальной задачей, и применяются следующие способы ее решения:

Веса можно задать в соответствии с формулой: . Это интуитивный выбор, основанный на том, что, чем шире спред, тем больше свобода выбора в значении цены опциона. Для российского рынка лучшая аппроксимация получалась у меня при выборе одинакового значения весов, равного 1, но я не брал в рассмотрение слишком дальние страйки.

Получив параметры модели Хестона, мы сможем вычислить цены опционов для любого страйка и периода до экспирации. Для наглядности мы сможем построить улыбку волатильности по значениям подразумеваемой волатильности из формулы Блэка-Шоулза, подставив в нее хестоновские цены опционов - см. график в начале поста.

Модель Хестона отражает реальное статистическое распределение приращений цены базового актива значительно лучше, чем это делает модель Блэка-Шоулза, в чем вы сможете убедиться, сравнивая реальные рыночные цены опционов с полученными по этой модели. Однако у нее есть один существенный недостаток, который проявляется в том, что, если до экспирации остается небольшой срок (около недели для российского рынка) цены крайних страйков модель определяет неверно, в терминах подразумеваемой волатильности - хвосты улыбки начинают расходиться:

Чтобы устранить этот недостаток мы должны перейти к применению модифицированной модели Хестона - модели Бэйтса, являющейся одной из лучших аппроксимаций, позволяющих с макимальной точностью находить "справедливые" цены опционов. Ее мы рассмотрим в следующей части цикла статей про улыбку волатильности.

С развитием рынка производных инструментов в России, актуальным становится анализ и использование возможностей, предоставляемых этим рынком.
В данном обзоре мы рассмотрим такие любопытные явления как “улыбка и ухмылка волатильности опционов”. А также возможные ситуации, связанные с данным явлением, и помощь, которую может оказать анализ или простое рассмотрение подобных ситуаций при принятии решений на классическом рынке акций.
Мы предполагаем, что читатель знаком с минимально необходимым объемом знаний об опционах и представляет, что опцион – это контракт, дающий право, но не обязывающий, купить или продать определенный актив по заранее установленной цене - цене страйк. Опцион, дающий право купить актив, называется опционом колл (call), а право продать – опционом пут (put). Опцион европейского типа исполняется только в дату погашения, в то время как американский опцион в любой день до этой даты по требованию владельца. Покупатель опциона может не требовать исполнения своего права по опциону, если ему это не выгодно, в то время как продавец обязан исполнить требование покупателя. За свое право покупатель выплачивает продавцу премию, размер которой и есть денежное выражение риска достижения базовым активом цены страйк, и является, по сути, ценой опциона, которая определяется в процессе торгов. Таким образом, убытки покупателя и доход продавца опциона всегда ограничены премией.

Важным фактором, влияющим на цену опциона, является волатильность базового актива. Волатильность, или стандартное отклонение в терминологии математической статистики, является мерой изменчивости базового актива, то есть, силы его ценовых колебаний. Более сильные исторические колебания цены актива дают большие значения волатильности. Как правило, волатильность рассчитывают на основе исторических временных рядов как среднеквадратичное отклонение логарифма цены актива, приведенное к годовому периоду. Расчитанная таким способом волатильность называется исторической (historical volatility, HV).
Разработано множество моделей определения взаимозависимости цены опциона и волатильности актива, но наиболее популярной является формула Блэка -Шоулза. Данная модель позволяет определить теоретическую стоимость опциона по исходным данным – цене базового актива и волатильности, цене страйк и времени до экспирации, процентной ставке и дивидендам. Но с помощью данной модели можно решить и обратную задачу, когда известными считаются все исходные параметры, кроме волатильности, вместо которой задается цена опциона, сложившаяся на торгах. Найденное таким образом значение называется подразумеваемой волатильностью (implied volatility, IV).
В формулах для теоретической стоимости опционов часто используется историческая волатильность, которая предполагается одинаковой для всех значений страйков. Если в этом случае изобразить график зависимости волатильности опционов одной серии от цены страйк при фиксированной цене базового актива, то он будет представлять горизонтальную прямую. На практике же, подразумеваемые волатильности опционов одного срока погашения, как правило, не совпадают. И при использовании сложившихся на торгах цен опционов и соответствующую им подразумеваемую волатильность, на графике можно увидеть так называемую "улыбку волатильности" (volatility smile). (Рис.1.)

Рис.1. “Улыбка волатильности”. Пример кривой волатильности опционов на фьючерс на индекс РТС.

Такая форма кривой имеет простое объяснение: дело в том, что фактическое распределение дневных изменений цены отличается от принятого в теории логнормального. Это, в первую очередь, связано с большим эксцессом, свойственным реальному распределению плотности вероятности, имеющему "тяжелые хвосты", где вероятность резких движений базового актива выше, чем при логнормальном. Как следствие, опционы “глубоко вне денег” имеют более высокую подразумеваемую волатильность, а, соответственно, и цену, чем теоретическая. То есть продавцы опционов учитывают более высокую вероятность существенных колебаний, по сравнению с логнормальным распределением, которая для них может быть сопряжена со значительными и даже, возможно, необратимыми убытками, что особенно характерно для опционов глубоко вне денег. Именно в целях устранения дисбаланса риска продавцы увеличивают цену продажи этих опционов по сравнению с теоретическими, от которых реальные значения могут отличаться в несколько раз, как в денежном выражении, так и в значениях волатильности, соответственно.
Но гораздо большее значение для рыночных игроков имеет не сама улыбка волатильности, а ситуации, когда кривая становится несимметричной. В случаях, когда асимметрия кривой становится заметной, улыбку принято называть "ухмылкой волатильности" (volatility smirk). Причем, асимметрия может наблюдаться как в правую, так и в левую сторону, то есть мы получаем правую или левую ухмылку, соответственно. Наклон края улыбки называется “наклоном” или “перекосом волатильности” (volatility skew). Если на графике присутствует ухмылка, это говорит о наличии повышенного риска движения цены базового актива в определенном направлении, а величина наклона кривой частично о силе таких ожиданий.
Такая ситуация возникает тогда, когда рынок “предполагает”, что в одном из направлений возможно более значительное и резкое изменение цены базисного актива, чем в другом. То есть рыночные игроки ожидают большего движения котировок в ту сторону, в которую смещена улыбка. Например, если ожидается более резкое падение цены, то подразумеваемая волатильность опционов пут вне денег будет больше, чем у опционов колл вне денег, чьи страйки симметрично расположены по отношению к центральному, а это приводит к приподнятости левой ветви кривой по отношению к правой, то есть мы видим на графике левую ухмылку.
Особенно выжным показателем становится наклон или скручивание ухмылки волатильности в периоды после обвальных падений, таких как в результате текущего финансового кризиса. В периоды после таких падений кривая почти всегда имеет форму левой ухмылки. Причиной такой формы является “крахофобия” трейдеров и инвесторов, у которых свежа память о последнем обвале, что и отражается в цене путов глубоко вне денег. Таким образом, в посткризисные периоды, стоит обращать внимание на наклон ухмылки волатильности, изменение которого и будет сигнализировать об изменении ожиданий рыночных игроков.
Например, на рис.2 представлены кривые волатильности для опционов на индекс РТС с разными сроками исполнения (12 и 74 дня). График построен на основе данных на конец дня 02.07.2009 по результатам торгов на рынке FORTS, и мы видим на нем ухмылку волатильности с большим наклоном. То есть участники рынка предполагали более резкое падение цены, чему они и нашли подтверждение в ходе последующего движения рынка. Как мы видим на рис.3 в последующие два торговых дня наблюдалось достаточно существенное снижение индекса РТС, то есть ожидания игроков полностью оправдались и отразились в котировках акций, входящих в индекс.

Рис.2.”Ухмылка волатильности”. Кривая волатильности опционов на фьючерс на индекс РТС от 02.07.2009

Рис.3.Динамика индекса РТС в период с 16.06.2009 по 06.07.2009

Рис.4.”Ухмылка волатильности”. Пример правой асимметрии для фьючерсов на опционы на золото.

Другой разновидностью ухмылки волатильности опционов является правая ухмылка. Пример такой ситуации представлен на рисунке 4, и говорит о том, что трейдеры ожидают более резкого движения вверх базового актива, нежели вниз. Такую ухмылку можно использовать как сигнал к покупке актива, если предположить, что профессиональные игроки рынка в большинстве своем не ошибаются. Причем, как мы уже говорили, в посткризисный период такую ухмылку достаточно трудно увидеть, и необходимо ориентироваться на изменение наклона левой ухмылки. Уменьшение наклона или переход к симметричной форме улыбки в течение времени уже может сигнализировать об улучшении настроений трейдеров.
В качестве примера на рис.5 представлено изменение формы улыбки волатильности опционов на фьючерс на индекс РТС с исполнением 14.09.2009. “Срезы” сделаны на 02.07.2009 и начало дня 07.07.2009, и, теперь, если мы сопоставим формы улыбки волатильности с графиком движения индекса РТС в этот период, то мы сможем заметить, что существенное снижение индекса было “предсказано” большим наклоном левой ухмылки кривой 02.07.2009, когда отношение волатильности симметричных путов и коллов глубоко вне денег достигало 1,30. После чего последовало двухдневное резкое падение индекса, а в начале торгового дня 07.07.2009 в начале отскока ухмылка волатильности уже имела гораздо меньший наклон с соотношением 1,13, сигнализируя тем самым о локальном изменении настроений инвесторов.

Рис.5.Изменение наклона ухмылки волатильности.

Таким образом, даже минимальный анализ на основе кривой волатильности производных инструментов на индекс РТС позволяет определить настроения рыночных игроков. Тем более полезным это может быть, так как используемые в нашей стране торговые платформы и программы позволяют организовать экспорт необходимых данных в любые электронные таблицы для последующего простого анализа.
Параллельно с тем фактом, в контанго или бэквордации торгуются фьючерсы на индекс РТС, ухмылка кривой волатильности опционов является простым, информативным и доступным индикатором настроений трейдеров, и может являться хорошим дополнением к техническому анализу графиков для прогнозирования дальнейшего движения и определения точек входа и выхода. Мы не утверждаем, что это универсальный индикатор: он, как и другие, не исключает ошибок и ложных сигналов, но, все же, это хорошее дополнение к существующим методам, тем более с учетом того, что на рынке производных работают в основном профессионалы, чьи ожидания и отражаются в форме кривой. И, несомненно, эти смайлы не помешает учитывать при принятии решений на рынке акций, чтобы потом грустно не ухмыльнуться.