Finanzanalyse und Investitionsbewertung des Unternehmens. Forex Volatility Smile als Hauptrisikoindikator Implizite Volatilität und Volatility Smile

Unter einem so schönen Konzept wie einem Lächeln der Volatilität verstehen wir ein Muster, das für die meisten Optionen charakteristisch ist.

Die erwartete Volatilität für Optionen auf einen Vermögenswert, aber mit unterschiedlichen Ausübungspreisen, kann nämlich in den meisten Fällen als Bogen ausgedrückt werden, dessen Mittelpunkt nach unten verschoben ist. Mit anderen Worten, je weiter der Ausübungspreis vom aktuellen Marktpreis abweicht, desto größer ist die Volatilität.

Lassen Sie uns die Konzepte erklären:

Erwartete (implizite) Volatilität- spiegelt die Erwartungen des Marktes über zukünftige Kursänderungen eines bestimmten Basiswertes wider.

schlagen- der Ausübungspreis, zu dem die Option vom Käufer ausgeübt (oder nicht) wird.
All dies läuft auf eine These hinaus: Je größer die Abweichung eines Ausübungspreises einer Option vom aktuellen Marktpreis eines bestimmten Vermögenswerts ist, desto größer ist die Unsicherheit des Marktes, dass der Preis zum Zeitpunkt der Ausübung diesen Wert erreichen wird (d verständlich). Und desto größer ist das Risiko, dass Sie zum Zeitpunkt der Ausübung der Option mit dem Preis keinen Gewinn erzielen können.

Letzteres gilt sowohl für Optionskäufer, deren Gewinn in der Kursbewegung in die gewünschte Richtung liegt, als auch für Verkäufer, die möchten, dass der Käufer sein Recht nicht ausübt, da ihm dadurch die Prämie entzogen wird.

Zur Krümmung des „Volatility Smile“

Wenn Sie sich die Diagramme ansehen, können Sie sehen, dass das „Smile“ normalerweise überhaupt nicht gleichmäßig ist, sein rechter Rand ist viel weniger angehoben als der untere. Dies ist eine grafische Darstellung eines weiteren sehr wichtigen Trends, der in einfache Worte drückt sich so aus:

Das Risiko eines plötzlichen Kursverfalls eines Vermögenswerts ist immer viel höher als das Risiko eines plötzlichen Anstiegs.

Aus diesem Grund steigt die linke Seite des Diagramms (was einen Anstieg des Preises eines Vermögenswerts bedeutet) nicht so schnell wie die rechte.

Wir betonen, dass das „Volatility Smile“ hauptsächlich nach Charts sucht, die die Optionsvolatilität für Aktien und andere Aktienwerte anzeigen.

Bei jeder Aktie besteht immer das Risiko eines plötzlichen Wertverfalls – zum Beispiel, wenn das Unternehmen, das diese Aktie ausgegeben hat, insolvent wird. Der Abstand von Null zum aktuellen Aktienkurs ist der maximale Abstand, den er überwinden kann. Es ist sehr schwer vorstellbar, dass der Kurs einer Aktie plötzlich die gleiche Bewegung nach oben macht, weil es schwer vorstellbar ist, dass ein Ereignis eine solche Entwicklung von Ereignissen verursachen könnte.

Im Allgemeinen bedeutet das Volatility Smile-Diagramm, dass der Verkauf von Put-Optionen fast immer profitabler ist als der Verkauf von Call-Optionen, während der Kauf genau das Gegenteil ist.

Das Volatilitätslächeln ist ein anomales Muster bei Optionen. Für einen bestimmten Verfall weisen Optionen, deren Ausübungspreise sich stark vom aktuellen Preis des Basiswerts unterscheiden (d. h. Optionen, die tief aus dem Geld und tief aus dem Geld sind), höhere Preise (und daher eine höhere implizite Volatilität) auf ), als dies ein Standard-Optionspreismodell erfordert.

Ein Diagramm der impliziten Volatilität gegenüber dem Ausübungspreis für einen bestimmten Verfall ergibt ein verschobenes „Lächeln“ anstelle der erwarteten flachen Oberfläche. Das Muster unterscheidet sich je nach Markt. Auf den US-Märkten gehandelte Aktienoptionen zeigten vor dem Crash von 1987 kein Volatilitätslächeln, aber sie taten es danach. Es wird angenommen, dass die Überschätzung der Wahrscheinlichkeit von Black-Swan-Ereignissen durch die Anleger zu höheren Preisen für aus dem Geld liegende Optionen geführt hat. Diese Anomalie weist auf die Ineffizienz des standardmäßigen Black-Scholes-Optionspreismodells hin, das Preisänderungen des zugrunde liegenden Vermögenswerts als konstant und lognormal ansieht. Empirische Verteilungen von Preisänderungen neigen jedoch dazu, „ “ (Kurtosis) und Schiefe zu zeigen. Die lächelnde Volatilitätsmodellierung ist ein aktives Forschungsgebiet in der quantitativen Finanzierung, ebenso wie die Suche nach einem besseren Optionspreismodell, beispielsweise durch stochastische Volatilitätsmodelle.

Implizite Volatilität und das Volatilitätslächeln

Im Black-Scholes-Modell die theoretischen Kosten einfache Möglichkeit ist eine monoton steigende Funktion der Volatilität des Basiswertes. Daher ist der Preis, außer im Fall von US-Dividendenoptionen, deren frühe Ausübung optimal sein kann, eine streng steigende Funktion der Volatilität. Dies bedeutet, dass es normalerweise möglich ist, die eindeutige implizite Volatilität aus dem verfügbaren Optionspreis am Markt zu berechnen. Diese implizite Volatilität stellt man sich am besten als Normalisierung von Optionspreisen vor, um einen einfacheren und intuitiveren Vergleich von Optionspreisen über Ausübungspreise, Verfall und zugrunde liegende Vermögenswerte hinweg zu ermöglichen.

Wenn Sie die implizite Volatilität gegen den Ausübungspreis darstellen, fällt die Linie für Aktienmärkte normalerweise ab oder bildet ein Tal für Devisenmärkte. Für Märkte mit nach unten geneigtem Chart wird häufig der Begriff „Volatility Skew“ verwendet. Für andere Märkte wie Devisenoptionen oder Aktienindizes, bei denen der Chart normalerweise an beiden Enden nach oben geht, wird der bekannte Begriff „Volatilitätslächeln“ verwendet. An den Aktienmärkten gibt es manchmal ein leicht schiefes Lächeln in der Nähe von Geld, wie ein Knick in der allgemeinen Abwärtsneigung, manchmal wird für ein solches schiefes Lächeln der Begriff Volatilitätsgrinsen verwendet.

Laufzeitstruktur der Volatilität (Term Structure)

Für Optionen verschiedene Begriffe Verfall, können Sie auch Unterschiede in der impliziten Volatilität feststellen. In diesem Fall ist der bestimmende Effekt jedoch die Erwartung des Marktes hinsichtlich der Auswirkungen eingehender Ereignisse. Beispielsweise wird häufig beobachtet, dass die realisierte Volatilität eines Aktienkurses an dem Tag, an dem ein Unternehmen seinen Gewinnbericht veröffentlicht, erheblich ansteigt. Dementsprechend ist die implizite Volatilität von Optionen je Aktie im Zeitraum vor diesem Bericht gestiegen und fällt danach als Aktienkurs neue Informationen. Optionen mit kürzerem Verfall weisen größere Schwankungen der impliziten Volatilität auf (manchmal auch „Volatilität für Volatilität“, „Vol von Vol“ genannt) als Optionen mit längerem Verfall.

Andere Optionsmärkte zeigen ein anderes Verhalten. Beispielsweise zeigen Optionen auf Warentermingeschäfte in der Regel unmittelbar vor der Veröffentlichung von Ernteprognosen einen Anstieg der impliziten Volatilität. Optionen auf Futures auf US-Staatsanleihen zeigen einen Anstieg der impliziten Volatilität unmittelbar vor der Sitzung des Federal Reserve Board (wenn Änderungen der kurzfristigen Zinssätze bekannt gegeben werden).

Der Markt spiegelt viele andere Arten von Ereignissen im Zeitrahmen der Volatilität wider. Beispielsweise können die Auswirkungen der erwarteten Ergebnisse von Arzneimittelstudien dazu führen, dass die implizite Aktienvolatilität schwankt. Pharmaunternehmen. Erwartete Ergebnisse von Patentstreitigkeiten können sich auf Aktien von Technologieunternehmen usw. auswirken.

Die Zeitstruktur der Volatilität spiegelt die Beziehung zwischen impliziter Volatilität und Restlaufzeit wider. Es bietet eine weitere Methode, mit der Händler unterbewertete oder überbewertete Optionen finden können.

Flüchtigkeitsoberfläche

Es ist oft nützlich, die implizite Volatilität als Funktion sowohl des Ausübungspreises als auch der Zeit bis zum Verfall darzustellen. Das Ergebnis ist eine dreidimensionale Oberfläche, bei der die Z-Achse die aktuelle implizite Marktvolatilität für alle Optionen des zugrunde liegenden Vermögenswerts widerspiegelt, die Y-Achse die Ausübungspreise und die X-Achse die Zeit bis zum Verfall.

Wenn Sie den Ausdruck „Volatilitätshandel“ gehört haben, dann haben Sie richtig gehört. Diese Gewinnmethode wird bei Operationen mit Optionen angewendet. Ich gehe davon aus, dass der Leser nur das Nötigste darüber weiß und sich vorstellt, dass eine Option ein Vertrag ist, der das Recht, aber nicht die Verpflichtung gibt, einen bestimmten Vermögenswert zu einem vorher festgelegten Preis – dem Ausübungspreis – zu kaufen oder zu verkaufen. Im Kern ist dies eine Transaktion, bei der zwei Parteien eine Wette eingehen, dass ein Vermögenswert nach einer bestimmten Zeit mehr oder weniger als einen vorher festgelegten Preis kosten wird.

Eine Option, die zum Kauf eines Vermögenswerts berechtigt, wird Call-Option genannt, und das Verkaufsrecht wird Put-Option genannt. Der Käufer einer Option kann die Ausübung seines Rechts daraus nicht verlangen, wenn sie unrentabel ist, während der Verkäufer verpflichtet ist, die Forderung des Käufers zu erfüllen. Dieser zahlt dem Verkäufer für sein Recht eine Prämie, deren Höhe von der Wahrscheinlichkeit abhängt, mit der der Basiswert den Ausübungspreis erreicht. Diese Prämie ist der während des Handelsvorgangs ermittelte Preis der Option. Somit sind der Schaden des Käufers und die Einnahmen des Verkäufers immer auf die Prämie begrenzt. Daher werden Optionen häufig verwendet, um offene Positionen auf Vermögenswerte abzusichern (zu versichern).

Aber es gibt einen Kreis von Investoren und Händlern, die mit Optionen Geld verdienen, sie werden "Volatilitätshändler" genannt. Versuchen wir herauszufinden, warum sie so heißen und ob es schwierig ist, Volatilität selbst zu traden.

Optionspreis und Volatilität

Ein wichtiger Faktor, der den Preis einer Option beeinflusst, ist die Volatilität des Basiswerts. Volatilität oder Standardabweichung in der Terminologie der mathematischen Statistik ist ein Maß für die Volatilität des zugrunde liegenden Vermögenswerts, dh die Stärke seiner Preisschwankungen. Stärkere historische Schwankungen des Preises eines Vermögenswerts ergeben höhere Volatilitätswerte. Er wird in der Regel auf Basis historischer Zeitreihen als Standardabweichung berechnet. Die so berechnete Volatilität wird als historische Volatilität bezeichnet.

Es wurden viele Modelle entwickelt, um die gegenseitige Abhängigkeit des Optionspreises und der Vermögensvolatilität zu bestimmen, aber das beliebteste ist die Black-Scholes-Formel. Mit diesem Modell können Sie den theoretischen Wert einer Option basierend auf den Ausgangsdaten bestimmen: dem Preis des Basiswerts und der Volatilität, dem Ausübungspreis und der Zeit bis zum Verfall (das Verfallsdatum der Option), dem Zinssatz auf dem Geldmarkt und Aktiendividenden. Den Preis einer Option anhand dieser Parameter zu ermitteln, ist ganz einfach, indem man diese Formel in Tabellenkalkulationen umsetzt oder einen Optionsrechner verwendet, von dem man im Internet sehr viele findet.

Im Wesentlichen haben zwei Parameter den größten Einfluss auf den Preis einer Option: der Ausübungspreis (Ausübungspreis) und die Volatilität. Wenn Sie also zum Beispiel davon ausgehen, dass sich der Kurs einer Aktie in kurzer Zeit kaum verändert, aber immer stärker schwankt, dann können Sie durch den Kauf einer Option diese zu einem höheren Preis verkaufen. Je größer die Volatilität, desto teurer die Option (desto höher die Prämie) und umgekehrt. Diese Beziehung wird von Volatilitätshändlern verwendet.

Es stellt sich heraus, dass Sie beim Kauf einer Option entweder darauf setzen, dass der Kurs der dem Kontrakt zugrunde liegenden Aktie steigt oder fällt, oder auf eine Änderung der Volatilität. Doch du weißt es immer maximale Größe Verlust, der sich auf die Optionsprämie beschränkt (dies ist die Regel für den Käufer), im Gegensatz zu einem einfachen Aktienkauf, wenn es problematisch ist, mögliche Verluste im Voraus abzuschätzen.

Auf den ersten Blick ist alles ganz einfach und es gibt keine Magie. Dennoch gibt es einige Nuancen, die beim Umgang mit Optionen berücksichtigt werden müssen. Lassen Sie uns etwas genauer darauf eingehen, um keine irreparablen Fehler zu machen.

Tatsächliche Volatilität

Beim Volatilitätshandel ist zu berücksichtigen, dass beim Handel mit Optionen an Börsen Marktteilnehmer bei der Beurteilung der Volatilität einige Anpassungen vornehmen, je nachdem, wie stark der aktuelle Aktienkurs vom Ausübungspreis abweicht.

Die Formeln für den theoretischen Wert von Optionen verwenden oft die historische Volatilität, die für alle Ausübungswerte gleich angenommen wird und als Stärke der historischen Schwankungen der Aktie berechnet wird. Wenn wir in diesem Fall die Abhängigkeit der Volatilität von Optionen einer Serie vom Ausübungspreis bei festem Preis des Basiswertes darstellen, dann wird es eine horizontale Gerade sein. In der Praxis stimmt die Volatilität, die Marktteilnehmer in den Preis von Optionen einbeziehen, nicht mit der theoretischen überein. Diese Volatilität wird als implizite Volatilität bezeichnet. Infolgedessen können Sie bei der Darstellung der Preise der bei der Auktion gebildeten Optionen und der ihnen entsprechenden impliziten Volatilität auf dem Chart das sogenannte Volatilitätslächeln sehen ( siehe Grafik 1).

Diese Kurvenform hat eine einfache Erklärung: Tatsache ist, dass die tatsächliche Verteilung der täglichen Preisänderungen von der theoretisch angenommenen abweicht. Dies ist hauptsächlich auf einige Eigenschaften realer Aktienkursänderungen zurückzuführen, bei denen die Wahrscheinlichkeit starker Bewegungen des zugrunde liegenden Vermögenswerts viel höher ist als bei einem theoretischen Lognormal. Infolgedessen haben „tief aus dem Geld“-Optionen (der Ausübungspreis ist weit vom aktuellen Preis entfernt und die Prämie darauf ist sehr niedrig) eine höhere implizite Volatilität und dementsprechend einen höheren Preis als den theoretischen. Das heißt, Optionsverkäufer berücksichtigen die höhere Wahrscheinlichkeit deutlicher Schwankungen im Vergleich zur Lognormalverteilung, die für sie mit erheblichen und möglicherweise sogar irreversiblen Verlusten verbunden sein können, was insbesondere für Optionen „tief aus dem Geld“ gilt. Daher erhöhen Verkäufer den Verkaufspreis dieser Optionen im Vergleich zu den theoretischen, von denen die realen Werte um ein Vielfaches abweichen können, sowohl in monetärer Hinsicht als auch in Bezug auf die Volatilitätswerte.

Beachten Sie, dass Sie sich in Handelsprogrammen und -plattformen nicht mit Berechnungen und Schätzungen befassen müssen, aber Sie können die Parameter so einstellen, dass Sie die geschätzte Volatilität für echte Optionstransaktionen sehen.

Flüchtiges Grinsen

Aber was den Marktteilnehmern wichtiger ist, ist nicht das „Lächeln der Volatilität“, sondern Situationen, in denen die Kurve asymmetrisch wird. In Fällen, in denen die Asymmetrie der Kurve auffällt, wird das Lächeln landläufig als „Volatilitätsgrinsen“ (Volatilitätsgrinsen) bezeichnet. Die Neigung des Randes des Lächelns wird als „Steigung“ oder „Volatilitätsverzerrung“ bezeichnet. Wenn auf dem Chart ein „Grinsen“ zu sehen ist, kann dies auf das Vorhandensein eines erhöhten Risikos hindeuten, dass sich der Preis des zugrunde liegenden Vermögenswertes in eine bestimmte Richtung bewegt, und die Größe der Neigung der Kurve hängt teilweise von der Stärke solcher Erwartungen ab .

Diese Situation tritt auf, wenn der Markt „annimmt“, dass eine stärkere und stärkere Preisänderung des Basiswerts in eine der Richtungen möglich ist als in die andere, oder die Mehrheit der Spieler sich gegen die Bewegung des Vermögenspreises in dieser Richtung versichert Richtung. Das heißt, die Marktteilnehmer erwarten eine größere Kursbewegung in die Richtung, in die das Lächeln verschoben wird. Wenn zum Beispiel ein starker Kursrückgang erwartet wird, ist die implizite Volatilität von Out-of-the-Money-Puts größer als von Out-of-the-Money-Calls, deren Strikes symmetrisch zum mittleren Strike liegen. und dies führt zu einem Anstieg des linken Kurvenasts gegenüber dem rechten, d.h. wir sehen auf dem Chart ein „linkes Grinsen“. Diese Form des „Volatilitätslächelns“ ist meistens zu beobachten – besonders ausgeprägt ist dieser Effekt nach Phasen steiler Einbrüche, wie der vergangenen Finanzkrise.

Der Grund für diese Form ist die „Crachophobie“ von Tradern und Anlegern, die eine frische Erinnerung an den letzten Crash haben, was sich im Preis von „tief aus dem Geld“-Puts widerspiegelt. Daher lohnt es sich, in Nachkrisenzeiten auf die Steigung des „Volatilitätsgrinsens“ zu achten, das eine Änderung der Erwartungen der Marktteilnehmer signalisieren wird. Und ein wichtiger Indikator ist die Verzerrung oder Verdrehung des „Grinsens der Volatilität“ in Zeiten nach Erdrutscheinbrüchen.

Nehmen Sie als Beispiel ( siehe Grafik 2) Volatilitätskurven für Optionen auf den RTS-Index mit unterschiedlichen Ablaufdaten (12 und 74 Tage). Das Diagramm basiert auf Daten zum Ende des Tages am 2. Juli 2009, basierend auf den Handelsergebnissen auf dem FORTS-Markt, und wir sehen darauf ein „Volatilitätsgrinsen“ mit einer großen Steigung.

Handelsstrategien

Schauen wir uns abschließend zwei kleine Beispiele an, die veranschaulichen, wie es möglich war, mit Optionen und Volatilitätshandel Geld zu verdienen.

Spulen wir vor bis August 2008, als der RTS-Index vor dem Börsencrash über dem Abgrund schwebte. Konzentrieren wir uns auf zwei Strategien mit Optionen, die erhebliche Gewinne bringen könnten.

Die erste ist eine der beliebtesten Strategien – der Kauf einer Put-Option. Im Kern ist dies eine Wette darauf, dass der zugrunde liegende Vermögenswert (in unserem Fall der RTS-Index) fallen wird. Der Verlust ist auf die gezahlte Prämie begrenzt und wird realisiert, wenn der Vermögenswert steigt oder sich im Preis nicht ändert. Der Gewinn ist unbegrenzt und wird realisiert, wenn der Vermögenswert im Preis fällt. Sie wird maximal, wenn gleichzeitig die Volatilität steigt, was wir in der zweiten Jahreshälfte 2008 beobachtet haben. Hatte man beispielsweise Mitte August 2008 eine Put-Option auf den RTS-Index mit einer Laufzeit von anderthalb bis zwei Monaten und einem Ausübungspreis von 100 % des Marktpreises gekauft, konnte sie innerhalb eines Monats zu vier Prozent verkauft werden fünfmal teurer. Wie Sie sehen können, wird bei diesem Ansatz nicht nur auf das Wachstum der Volatilität gesetzt, sondern es ist auch wichtig, die Richtung der Bewegung des Vermögenswerts zu erraten.

Betrachten wir daher die zweite Strategie, die es Ihnen ermöglicht, die Richtung der Marktbewegung nicht zu erraten, sondern nur am Wachstum oder Rückgang der Volatilität zu verdienen, unabhängig von der Bewegungsrichtung des zugrunde liegenden Vermögenswerts. Es heißt "langer Straddle" (langer Straddle). Indem Sie auf erhöhte Volatilität setzen, kaufen Sie gleichzeitig eine Put-Option und eine Call-Option mit den gleichen Ablaufdaten und Preisen. Potenzielle Verluste werden in diesem Fall a priori durch die gezahlte Optionsprämie begrenzt und bei einer Erhöhung der Volatilität des Vermögenswerts steigen auch die Erträge dieser Position, unabhängig davon, ob der Basiswert selbst wächst oder fällt. Denken Sie noch einmal an Mitte August 2008. Selbst wenn Sie sich nicht sicher waren, dass der RTS-Index weiter fallen würde, könnten Sie mit dieser Strategie Hunderte von Prozent pro Jahr verdienen, da in den folgenden Monaten die Volatilität erheblich zunahm und die Optionskosten um ein Vielfaches stiegen ( siehe Diagramm 3).

Ich merke natürlich an, dass es in diesem Artikel nicht möglich war, alle Möglichkeiten und Vorteile, die das Geschäft auf dem Derivatemarkt bietet, im Detail zu betrachten. Aber die Hauptaufgabe bestand nicht darin, in Wahrscheinlichkeitstheorie und komplexe Formeln zur Berechnung verschiedener Strategien mit Optionen einzutauchen, sondern die Neugier der Leser auf diesen Markt und bestehende Möglichkeiten zu stillen, die oft schwieriger zu verstehen und umzusetzen scheinen, als es sich herausstellt.

Von der Redaktion

Nasreddin-Option

Vor einigen Jahren las ich einen Artikel von Oleg Konshin, der einmal bei Finam und dann als Vermögensverwalter bei Solid arbeitete. Dann erinnerte ich mich gut daran, was ein Streik ist, was eine Option „aus dem Geld“ ist, und ich beschloss, einen Auszug aus diesem Artikel zu zitieren, der im RZB-Magazin veröffentlicht wurde. Ich bin bereit zu wetten, dass Sie sich in 50 Jahren daran erinnern werden, was ein Streik ist, und ich bin bereit, eine Option auf dieses Ereignis recht günstig zu verkaufen. Sagen wir 100 Dollar.

„Das Wesen des Optionshandels wird am anschaulichsten in einer bekannten historischen Anekdote dargestellt. Der schlaue Held des Volksepos Khoja Nasreddin, der über den Marktplatz spazierte, erklärte öffentlich, dass gegen ein angemessenes Entgelt sogar einem Tier die menschliche Sprache beigebracht werden könne. Der Padishah, überrascht von solchem ​​Selbstvertrauen, schlug Hodscha vor, die Richtigkeit seiner Worte in der Praxis zu beweisen - dem Esel das Sprechen beizubringen.

Khoja Nasreddin stimmte bereitwillig zu, bemerkte aber gleichzeitig, dass der Padishah, da der Esel außergewöhnlich dumm ist, erstens viel Geld zahlen müsste und zweitens der Lernprozess selbst lange dauern würde - bei mindestens 20 Jahre. Der Padishah akzeptierte die Bedingungen, versprach aber, den unglücklichen Lehrer im Falle eines Scheiterns hinzurichten. Freunde vermuteten nicht ohne Grund, dass Nasreddin an Demenz erkrankt sei. Er selbst fühlte sich fröhlich und zuversichtlich und genoss das Leben von dem Geld, das er erhielt. Auf verwirrte Fragen, was er vorhabe, antwortete Khoja weise: „Nichts, denn in 20 Jahren wird entweder der Padishah oder der Esel sterben.“

Anhand dieser Anekdote als Beispiel kann man die Hauptbestandteile einer Optionsvereinbarung (von der englischen Option - „Wahl“) unterscheiden: Gegenstand der Vereinbarung (der sogenannte Streik) ist ein sprechender Esel; Nachdem der Padishah die Prämie bezahlt hatte, erhielt er das Recht, die Ausführung des Vertrags nach 20 Jahren zu verlangen; Khoja Nasreddin verwirklichte den Traum eines jeden Optionsverkäufers – er erhielt eine Prämie für einen Strike, der offensichtlich nicht realisierbar war (die sogenannte Out-of-the-money-Option). Die Zeit ist ein zusätzlicher Teilnehmer am Streit der Optionskontrahenten, und er war es, der vom weisen Mann als Verbündeter genommen wurde.

Wir betrachten weiterhin Algorithmen zur Konstruktion eines Volatilitätslächelns. In diesem Artikel finden wir "faire" Optionspreise anhand des Heston-Modells, das zu den sogenannten stochastischen Volatilitätsmodellen gehört. Heston schlug vor, das System der folgenden Gleichungen als Modell des zugrunde liegenden Vermögenswerts zu verwenden:

wobei der Preis bzw. die Volatilität des zugrunde liegenden Vermögenswerts zufällige Brownsche Prozesse mit Korrelation sind. ist ein quadratischer mittelwertumkehrender Prozess mit Mittelwert und Intensität k. - Standardabweichung der Volatilität, r - risikofreier Zinssatz (für Margin ist er gleich 0, daher werden wir diesen Parameter für den russischen Markt sofort ausschließen).

Die reale statistische Verteilung der Preissteigerungen des Basiswerts entspricht nicht gut der Gaußschen Verteilung, auf deren Grundlage die Black-Scholes-Formel erhalten wurde. Das Heston-Modell kann verschiedene Statistiken beschreiben. Verteilung, zum Beispiel kann der Koeffizient als Korrelation zwischen dem Logarithmus des Preisanstiegs und der Volatilität des Vermögenswerts interpretiert werden, was es ermöglicht, den Effekt von "fetten Schwänzen" der Verteilung zu berücksichtigen. Eine Grafik der Verteilungsdichte des Preisinkrements mit unterschiedlichen Werten ist im Titel des Beitrags angegeben.

Der Preis einer europäischen Kaufoption für das Heston-Modell wird nach folgender Formel berechnet:

Woher

für j=1,2, wobei

Dieser Satz von Formeln scheint kompliziert zu sein, aber mit Hilfe des C#-Programms, das unten angegeben wird, ist es ziemlich einfach, sie zu lösen. Die einzige Schwierigkeit ist die Berechnung des Integrals mit der oberen unendlichen Grenze in der Formel für , die mit dem numerischen Verfahren von Gauss-Lagendre im selben Programm gefunden wird. Zur Vereinfachung ist es auch möglich, die Anzahl der Parameter zu reduzieren, indem man das Risikomaß aus ihnen entfernt und einen risikoneutralen Ansatz anwendet. In diesem Fall:

Heston-Formel-Berechnungsfunktion in C#:

//a-Untergrenze des Integrals (gleich 0) //b - Obergrenze des Integrals. Je nach geforderter Genauigkeit wird ein Wert von 100 bis 200 gewählt //delta - es wird das griechische Delta berechnet, das gleich dem Wert von P1 in der Heston-Formel ist double HestonCallGaussLegendre(double S,double K,double T,double r ,double kappa,double theta, double sigma ,double lambda,double v0,double rho,int trap, double a, double b,ref double delta) ( // Numerische Integration double int1=new double; double int2 = new double; double y; für (int k=0; k< =31; k++) { y = (a + b) / 2.0 + (b - a) / 2.0 * X[k]; int1[k] = W[k]*HestonCF(y,S,K,r,T,rho,kappa,theta,lambda,sigma,v0,1,trap); int2[k] = W[k]*HestonCF(y,S,K,r,T,rho,kappa,theta,lambda,sigma,v0,2,trap); } // Векторы для интегральной суммы double I1 = VectorSum(int1); double I2 = VectorSum(int2); // Определение Р1 и Р2 double P1 = 0.5 + 1.0/Math.PI*I1*(b-a)/2; double P2 = 0.5 + 1.0/Math.PI*I2*(b-a)/2; delta = P1; // Цена колл опциона return S*P1 - K*P2; } // Функция суммирования элементов вектора double VectorSum(double A) { double sum = 0; double n = A.Length; for (int i = 0; i <= n - 1; i++) sum += A[i]; return sum; } private double HestonCF(Complex phi, double Spot, double Strike, double Rate, double T, double Rho, double Kappa, double Theta, double Lambda, double Sigma, double V, int Pnum, int trap) { Complex S=new Complex(Spot , 0.0); // Цена базового актива Complex K=new Complex(Strike, 0.0); // Страйк Complex r=new Complex(Rate , 0.0); // Безрисковая ставка (для марж. опционов =0) Complex tau=new Complex(T , 0.0); // Период до экспирации в долях года Complex i=new Complex(0.0 , 1.0); // Мнимая переменная Complex rho=new Complex(Rho , 0.0); // Параметр Хестона: Корреляция Complex kappa = new Complex(Kappa, 0.0); // Параметр Хестона: Скорость возврата Complex theta = new Complex(Theta, 0.0); // Параметр Хестона: уровень возвратности Complex lambda = new Complex(Lambda, 0.0); // Параметр Хестона: мера риска (равна 0 для риск-нейтрального подхода) Complex sigma = new Complex(Sigma, 0.0); // Параметр Хестона: Среднеквадратичное волатильности Complex v0 = new Complex(V, 0.0); // Параметр Хестона: Текущая волатильность Complex two=new Complex(2.0 , 0.0); // число 2 в комплексной форме Complex one = new Complex(1.0, 0.0); // число 1 в комплексной форме Complex y, a, u, b, sigma2, d, g, G, C, D, c, f; y = rho*sigma*phi*i; a = kappa*theta; if (Pnum==1) { // Первая характеристическая функция u = 0.5; b = kappa + lambda - rho*sigma; } else { // Вторая характеристическая функция u = -0.5; b = kappa + lambda; } sigma2 = Complex.Pow(sigma,2); d = Complex.Sqrt((y-b)*(y-b) - sigma2*(two*u*phi*i - phi*phi)); g = (b - y + d)/(b - y - d); if (trap==1) { // Версия модели "Little Heston Trap" c = one/g; G = (one - c*Complex.Exp(-d*tau))/(one - c); C = r*i*phi*tau + a/sigma2*((b - rho*sigma*i*phi - d)*tau - two*Complex.Log(G)); D = (b - rho * sigma * i * phi - d) / sigma2 * ((one - Complex.Exp(-d * tau)) / (one - c * Complex.Exp(-d * tau))); } else { // Оригинальный вариант Хестона G = (one - g * Complex.Exp(d * tau)) / (one - g); C = r*i*phi*tau + a/sigma2*((b - rho*sigma*i*phi + d)*tau - two*Complex.Log(G)); D = (b - rho * sigma * i * phi + d) / sigma2 * ((one - Complex.Exp(d * tau)) / (one - g * Complex.Exp(d * tau))); } f = Complex.Exp(C + D*v0 + i*phi*Complex.Log(S)); // Вычисление реальной части подинтегрального выражения return (Complex.Exp(-i*phi*Complex.Log(K))*f/i/phi).Real; }

Der nächste Schritt besteht darin, fünf Parameter zu definieren (V - aktuelle Volatilität). Dazu müssen Sie das Modell auf die beobachteten Marktpreise der Optionen kalibrieren. Wir wenden die Standardmethode an - wir nehmen eine Auswahl von Preisen für Optionen mit unterschiedlichen Ausübungspreisen für einen bestimmten Zeitraum (zusammen mit den Zeiträumen bis zum Ablauf), während der Marktpreis der Option der Durchschnittspreis zwischen Geld- und Briefkurs ist ( , und minimieren Sie den folgenden Ausdruck mit der nichtlinearen Methode der kleinsten Quadrate (OLS):

wo ist der Vektor der Parameter, sind die gegebenen Gewichte (ihre Wahl wird später besprochen), N ist die Stichprobengröße. Der Ausdruck auf der rechten Seite bedeutet, dass die erhaltenen Werte zwischen Geld- und Briefkurs der beobachteten Marktpreise liegen müssen. Diese Einschränkung sowie die Bedingung MathJax_Preview"> halten an und erzeugen nicht optimale Werte. Daher ist das Finden der optimalen Parameter des Heston-Modells eine nicht triviale Aufgabe, und die folgenden Methoden werden verwendet, um sie zu lösen:

Gewichte können nach folgender Formel eingestellt werden: . Dies ist eine intuitive Wahl, die auf der Tatsache basiert, dass je breiter der Spread, desto größer die Wahlfreiheit beim Wert des Optionspreises. Für den russischen Markt habe ich die beste Annäherung erhalten, indem ich den gleichen Gewichtswert gleich 1 gewählt habe, aber ich habe zu weit entfernte Schläge nicht berücksichtigt.

Mit den Parametern des Heston-Modells können wir Optionspreise für jeden Ausübungs- und Verfallszeitraum berechnen. Zur Verdeutlichung können wir ein Volatilitätslächeln aus den impliziten Volatilitätswerten der Black-Scholes-Formel erstellen, indem wir Heston-Optionspreise darin einsetzen – siehe Diagramm am Anfang des Beitrags.

Das Heston-Modell spiegelt die reale statistische Verteilung der Preissteigerungen des Basiswerts viel besser wider als das Black-Scholes-Modell, wie Sie sehen können, wenn Sie die realen Marktpreise von Optionen mit den aus diesem Modell erhaltenen vergleichen. Es hat jedoch einen wesentlichen Nachteil, der sich darin äußert, dass das Modell bei einem kurzen Zeitraum vor dem Verfall (etwa eine Woche für den russischen Markt) die Preise extremer Strikes in Bezug auf die implizite Volatilität falsch bestimmt - die Schwänze des Lächelns beginnen auseinander zu laufen:

Um diesen Nachteil zu beseitigen, müssen wir auf die Verwendung eines modifizierten Heston-Modells umsteigen - das Bates-Modell, das eine der besten Näherungen ist, die es uns ermöglicht, "faire" Optionspreise mit maximaler Genauigkeit zu finden. Wir werden es im nächsten Teil einer Artikelserie über das Lächeln der Volatilität betrachten.

Mit der Entwicklung des Derivatemarktes in Russland wird die Analyse und Nutzung der Möglichkeiten, die dieser Markt bietet, relevant.
In diesem Rückblick werden wir so merkwürdige Phänomene wie das „Lächeln und Grinsen der Optionsvolatilität“ betrachten. Sowie mögliche Situationen, die mit diesem Phänomen verbunden sind, und die Hilfe, die die Analyse oder einfache Betrachtung solcher Situationen bei der Entscheidungsfindung im klassischen Aktienmarkt leisten kann.
Wir gehen davon aus, dass der Leser mit dem erforderlichen Mindestwissen über Optionen vertraut ist und sich vorstellt, dass eine Option ein Vertrag ist, der das Recht, aber nicht die Verpflichtung gibt, einen bestimmten Vermögenswert zu einem vorher festgelegten Preis – dem Ausübungspreis – zu kaufen oder zu verkaufen. Eine Option, die zum Kauf eines Vermögenswerts berechtigt, wird Call-Option genannt, und das Verkaufsrecht wird Put-Option genannt. Die europäische Option wird nur am Fälligkeitsdatum ausgeübt, während die amerikanische Option auf Antrag des Inhabers an jedem Tag vor diesem Datum ausgeübt wird. Der Käufer einer Option kann die Ausübung seines Rechts aus der Option nicht verlangen, wenn es für ihn nicht rentabel ist, während der Verkäufer verpflichtet ist, die Forderung des Käufers zu erfüllen. Für sein Recht zahlt der Käufer dem Verkäufer eine Prämie, deren Höhe dem monetären Wert des Risikos entspricht, dass der Basiswert den Ausübungspreis erreicht, und tatsächlich der Preis der Option ist, der während des Handels bestimmt wird Prozess. Somit ist der Verlust des Käufers und des Verkäufers der Option immer auf die Prämie begrenzt.

Ein wichtiger Faktor, der den Preis einer Option beeinflusst, ist die Volatilität des Basiswerts. Volatilität oder Standardabweichung in der Terminologie der mathematischen Statistik ist ein Maß für die Volatilität des zugrunde liegenden Vermögenswerts, dh die Stärke seiner Preisschwankungen. Stärkere historische Schwankungen des Preises eines Vermögenswerts ergeben höhere Volatilitätswerte. Die Volatilität wird in der Regel auf Basis historischer Zeitreihen als auf den Jahreszeitraum normierte Standardabweichung des Logarithmus des Vermögenspreises berechnet. Die so berechnete Volatilität wird als historische Volatilität (HV) bezeichnet.
Es wurden viele Modelle entwickelt, um die gegenseitige Abhängigkeit des Optionspreises und der Vermögensvolatilität zu bestimmen, aber das beliebteste ist die Black-Scholes-Formel. Mit diesem Modell können Sie den theoretischen Wert einer Option basierend auf den Anfangsdaten bestimmen - dem Preis des Basiswerts und der Volatilität, dem Ausübungspreis und der Restlaufzeit, dem Zinssatz und den Dividenden. Mit Hilfe dieses Modells ist es aber auch möglich, das umgekehrte Problem zu lösen, indem alle Anfangsparameter bis auf die Volatilität als bekannt betrachtet werden, statt dessen der bei der Auktion entstandene Preis der Option gesetzt wird. Der so ermittelte Wert wird als implizite Volatilität (IV) bezeichnet.
Formeln für den theoretischen Wert von Optionen verwenden häufig die historische Volatilität, von der angenommen wird, dass sie für alle Ausübungswerte gleich ist. Wenn wir in diesem Fall die Abhängigkeit der Volatilität von Optionen einer Serie vom Ausübungspreis bei festem Preis des Basiswertes darstellen, dann stellt dies eine horizontale Gerade dar. In der Praxis stimmen die impliziten Volatilitäten von Optionen gleicher Laufzeit jedoch in der Regel nicht überein. Und wenn man die bei der Auktion vorherrschenden Preise von Optionen und die ihnen entsprechende implizite Volatilität verwendet, ist das sogenannte „Volatilitätslächeln“ auf dem Chart zu sehen. (Abb.1.)

Abb.1. "Lächeln der Volatilität". Ein Beispiel der Volatilitätskurve für Optionen auf einen Terminkontrakt auf den RTS-Index.

Diese Kurvenform hat eine einfache Erklärung: Tatsache ist, dass die tatsächliche Verteilung der täglichen Preisänderungen von der in der Theorie akzeptierten logarithmischen Normalverteilung abweicht. Dies ist hauptsächlich auf die große Kurtosis zurückzuführen, die der realen Verteilung der Wahrscheinlichkeitsdichte innewohnt, die "schwere Schwänze" aufweist, bei denen die Wahrscheinlichkeit starker Bewegungen des zugrunde liegenden Vermögenswerts höher ist als bei einer lognormalen. Folglich haben „tief aus dem Geld“-Optionen eine höhere implizite Volatilität und damit einen höheren Preis als theoretisch. Das heißt, Optionsverkäufer berücksichtigen die im Vergleich zur Lognormalverteilung höhere Wahrscheinlichkeit signifikanter Schwankungen, die für sie mit erheblichen und möglicherweise sogar irreversiblen Verlusten verbunden sein können, was insbesondere für Optionen weit aus dem Geld gilt. Um das Risikoungleichgewicht zu beseitigen, erhöhen die Verkäufer den Verkaufspreis dieser Optionen im Vergleich zu den theoretischen, von denen die realen Werte sowohl in monetärer Hinsicht als auch in Bezug auf die Volatilitätswerte um ein Vielfaches abweichen können.
Aber viel wichtiger für Marktteilnehmer ist nicht das Lächeln der Volatilität selbst, sondern Situationen, in denen die Kurve asymmetrisch wird. In Fällen, in denen die Asymmetrie der Kurve auffällt, wird das Lächeln als „Volatilitätsgrinsen“ (Volatilitätsgrinsen) bezeichnet. Außerdem ist eine Asymmetrie sowohl nach rechts als auch nach links zu beobachten, das heißt, wir bekommen ein rechtes bzw. linkes Grinsen. Die Steigung der Smile-Kante wird als „Steigung“ oder „Volatilitätsverzerrung“ bezeichnet. Wenn auf dem Chart ein Grinsen zu sehen ist, weist dies darauf hin, dass ein erhöhtes Risiko besteht, dass sich der Preis des zugrunde liegenden Vermögenswerts in eine bestimmte Richtung bewegt, und die Größe der Steigung der Kurve hängt teilweise von der Stärke solcher Erwartungen ab.
Diese Situation entsteht, wenn der Markt „annimmt“, dass in einer der Richtungen eine deutlichere und stärkere Kursänderung des Basiswertes möglich ist als in der anderen. Das heißt, die Marktteilnehmer erwarten eine größere Kursbewegung in die Richtung, in die das Lächeln verschoben wird. Wenn beispielsweise erwartet wird, dass der Preis stärker fällt, ist die implizite Volatilität von Out-of-the-Money-Puts größer als von Out-of-the-Money-Calls, deren Strikes symmetrisch in Bezug auf die Mitte sind, was dazu führt der linke Kurvenast steigt relativ zum rechten an, d.h. wir sehen ein linkes Grinsen auf dem Chart.
Ein besonders wichtiger Indikator ist die Neigung oder Wendung des Volatilitätsgrinsens in Zeiten nach großen Crashs, wie der aktuellen Finanzkrise. In Zeiten nach solchen Stürzen nimmt die Kurve fast immer die Form eines linken Grinsens an. Der Grund für diese Form ist die „Crachophobie“ von Händlern und Anlegern, die eine frische Erinnerung an den letzten Crash haben, was sich im Preis von Puts tief aus dem Geld widerspiegelt. Daher lohnt es sich, in Nachkrisenzeiten auf die Neigung des Volatilitätsgrinsens zu achten, dessen Änderung eine Änderung der Erwartungen der Marktteilnehmer signalisiert.
Abbildung 2 zeigt beispielsweise Volatilitätskurven für Optionen auf den RTS-Index mit unterschiedlichen Ablaufdaten (12 und 74 Tage). Das Diagramm basiert auf Daten zum Ende des Tages am 02.07.2009, basierend auf den Handelsergebnissen auf dem FORTS-Markt, und wir sehen darauf ein Grinsen der Volatilität mit einer großen Steigung. Das heißt, die Marktteilnehmer gingen von einem stärkeren Kursrückgang aus, was sie im Zuge der anschließenden Marktbewegung bestätigten. Wie wir in Abbildung 3 sehen können, gab es in den nächsten zwei Handelstagen einen ziemlich deutlichen Rückgang des RTS-Index, das heißt, die Erwartungen der Spieler waren voll gerechtfertigt und spiegelten sich in den Kursen der im Index enthaltenen Aktien wider.

Abb. 2. „Volatilitätsgrinsen“. Volatilitätskurve von Optionen für Futures auf den RTS-Index vom 02.07.2009

Abb. 3. Dynamik des RTS-Index im Zeitraum vom 16.06.2009 bis 06.07.2009

Abb. 4. „Volatilitätsgrinsen“. Ein Beispiel für Rechtsasymmetrie bei Futures auf Goldoptionen.

Eine weitere Variation des Optionen-Volatilitäts-Grinsens ist das rechte Grinsen. Ein Beispiel für eine solche Situation ist in Abbildung 4 dargestellt und deutet darauf hin, dass Händler eine stärkere Aufwärtsbewegung des zugrunde liegenden Vermögenswerts erwarten als eine Abwärtsbewegung. Ein solches Grinsen kann als Signal zum Kauf eines Vermögenswertes verwendet werden, vorausgesetzt, dass sich professionelle Marktteilnehmer größtenteils nicht irren. Darüber hinaus ist, wie wir bereits gesagt haben, ein solches Grinsen in der Zeit nach der Krise ziemlich schwer zu sehen, und es ist notwendig, sich auf die Veränderung der Neigung des linken Grinsens zu konzentrieren. Eine Abnahme der Steigung oder ein Übergang zu einer symmetrischen Lächelnform im Laufe der Zeit kann bereits eine Verbesserung der Stimmung der Händler signalisieren.
Als Beispiel zeigt Abb. 5 die Veränderung der Form des Volatilitätslächelns von Optionen auf Futures auf den RTS-Index mit Ausführung am 14.09.2009. „Slices“ wurden am 02.07.2009 und am Beginn des Tages am 07.07.2009 gemacht, und wenn wir jetzt die Volatilitäts-Lächeln-Formen mit dem RTS-Index-Bewegungsdiagramm in diesem Zeitraum vergleichen, werden wir in der Lage sein, dies zu bemerken dass ein deutlicher Rückgang des Index durch eine starke Linkssteigung „vorhergesagt“ wurde, schmunzelt die Kurve am 02.07.2009, als das Volatilitätsverhältnis von symmetrischen Puts und Calls tief aus dem Geld 1,30 erreichte. Es folgte ein zweitägiger starker Rückgang des Index, und zu Beginn des Handelstages am 07.07.2009, zu Beginn des Rebounds, hatte das Volatilitätsgrinsen mit einer Ratio von 1,13 bereits eine deutlich geringere Steigung , was eine lokale Änderung der Anlegerstimmung signalisiert.

Abb. 5. Änderung der Steigung des Flüchtigkeitsgrinsens.

Schon eine minimale Analyse anhand der Volatilitätskurve von Derivaten auf den RTS-Index ermöglicht es Ihnen, die Stimmung der Marktteilnehmer zu bestimmen. Dies kann umso nützlicher sein, da die hierzulande verwendeten Handelsplattformen und Programme es ermöglichen, den Export der notwendigen Daten in beliebige Tabellenkalkulationen für eine spätere einfache Analyse zu organisieren.
Parallel zu der Tatsache, dass Futures auf den RTS-Index in Contango oder Backwardation gehandelt werden, ist das Grinsen der Optionsvolatilitätskurve ein einfacher, informativer und zugänglicher Indikator für die Stimmung der Händler und kann eine gute Ergänzung zur technischen Analyse von Charts sein um weitere Bewegungen vorherzusagen und Ein- und Ausstiegspunkte zu bestimmen. Wir behaupten nicht, dass dies ein universeller Indikator ist: Er schließt wie andere Fehler und falsche Signale nicht aus, ist aber dennoch eine gute Ergänzung zu bestehenden Methoden, insbesondere wenn man bedenkt, dass der Derivatemarkt hauptsächlich von Fachleuten betrieben wird, deren Erwartungen und spiegeln sich in Form einer Kurve wider. Und natürlich schadet es nicht, diese Emoticons bei Entscheidungen an der Börse zu berücksichtigen, um später nicht traurig zu schmunzeln.