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Präsentation - Zahlensysteme

Der Text dieser Präsentation

Thema "Zahlensysteme"

Einführung
Der moderne Mensch wird im Alltag ständig mit Zahlen und Zahlen konfrontiert – sie begleiten uns überall. Verschiedene Systeme Kalkül wird überall dort eingesetzt, wo numerische Berechnungen erforderlich sind, von Berechnungen von Grundschülern mit Bleistift auf Papier bis hin zu Berechnungen auf Supercomputern.

Das Zahlensystem ist eine bestimmte Darstellungsweise von Zahlen und die entsprechenden Regeln für deren Bearbeitung. Der Zweck der Erstellung eines Zahlensystems besteht darin, die bequemste Methode zur Erfassung quantitativer Informationen zu entwickeln.
Geschichte der Zahlensysteme
Zahlensysteme
positionell
nicht positionell

Alte Zahlensysteme:
Einheitensystem Altgriechische Nummerierung Slawische Nummerierung Römische Nummerierung

Positions- und Nicht-Positionszahlensysteme
Nicht-Positionssysteme Positionssysteme
Der Wert, den es bezeichnet, hängt nicht von der Position der Ziffer in der Notation der Zahl ab. Der Wert, der durch eine Ziffer in einem Zahleneintrag angegeben wird, hängt von ihrer Position ab. Die Basis ist die Anzahl der verwendeten Ziffern. Position - die Position jeder Ziffer.

Schreiben einer Zahl in einem Positionszahlensystem
Jede ganze Zahl im Stellensystem kann als Polynom geschrieben werden: Хs=An Sn-1 + An-1 Sn-2 + An-2 Sn-3 +...+ A2 S1 + A1 S0 wobei S - die Basis von Zahlensystem, A sind die Ziffern der in diesem Zahlensystem geschriebenen Zahl, n ist die Anzahl der Ziffern der Zahl. So schreibt man beispielsweise die Zahl 629310 in Form eines Polynoms wie folgt: 629310=6 103 + 2 102 + 9 101 + 3 100

Beispiele für Positionsnummernsysteme:
Binäres Zahlensystem mit der Basis 2, es werden zwei Symbole verwendet - 0 und 1.
Oktales Zahlensystem mit der Basis 8, es werden die Ziffern 0 bis 7 verwendet.
Dezimalsystem mit der Basis 10, dem am weitesten verbreiteten Zahlensystem der Welt.
Duodezimalsystem mit der Basis 12. Die verwendeten Zahlen sind 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B.
Hexadezimalbasis 16, verwendet die Zahlen 0 bis 9 und die Buchstaben A bis F, um die Zahlen 10 bis 15 darzustellen.
Hexadezimal, Basis 60, wird verwendet, um Winkel und insbesondere Längen- und Breitengrade zu messen.

Geschichte des binären Zahlensystems
Das binäre Zahlensystem wurde von Mathematikern und Philosophen noch vor dem Aufkommen von Computern (XVII - XIX Jahrhundert) erfunden. Der Propagandist des binären Systems war der berühmte G.V. Leibniz. Er bemerkte die besondere Einfachheit der Algorithmen arithmetischer Operationen in der binären Arithmetik im Vergleich zu anderen Systemen und gab ihr eine gewisse philosophische Bedeutung. In den Jahren 1936-1938 entdeckte der amerikanische Ingenieur und Mathematiker Claude Shannon bemerkenswerte Anwendungen des Binärsystems beim Entwurf elektronischer Schaltungen.

Binäres Zahlensystem
Binäres Zahlensystem ( binäres System Nummerierung, binär) - Positionszahlensystem mit der Basis 2. Der Nachteil dieses Zahlensystems besteht darin, dass die Quelldaten bei der Eingabe in die Maschine von dezimal in binär konvertiert und bei der Ausgabe von Berechnungsergebnissen von binär in dezimal umgerechnet werden müssen. Der Hauptvorteil des Binärsystems ist die Einfachheit der Additions-, Subtraktions-, Multiplikations- und Divisionsalgorithmen.

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division im Binärsystem
Addition Subtraktion Multiplikation Division
0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 10. 0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 1 - 1 = 0; 10 - 1 = 1. 0 1 = 0; 1 1 = 1. 0 / 1 = 0; 1/1 = 1.

Binäre Codierung in einem Computer
Am Ende des 20. Jahrhunderts, dem Jahrhundert der Computerisierung, verwendet die Menschheit täglich das binäre System, da alle von modernen Computern verarbeiteten Informationen in binärer Form in ihnen gespeichert sind. In modernen Computern können wir tippen Textinformationen, numerische Werte sowie grafische und akustische Informationen. Die in einem Computer gespeicherte Informationsmenge wird anhand ihrer „Länge“ (oder „Volumen“) gemessen, die in Bits ausgedrückt wird (von der englischen Binärziffer).

Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes umwandeln
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Fazit
Die höchste Errungenschaft der antiken Arithmetik ist die Entdeckung des Positionsprinzips der Zahlendarstellung. Es ist notwendig, die Bedeutung nicht nur des am häufigsten verwendeten Systems, das wir täglich verwenden, zu erkennen. Aber auch jeder einzeln. In der Tat werden in verschiedenen Bereichen unterschiedliche Zahlensysteme mit ihren eigenen Merkmalen und charakteristischen Eigenschaften verwendet.

Dezimal Binär Oktal Hexadezimal
1 001 1 1
2 010 2 2
3 011 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12A
11 1011 13B
12 1100 14 C
13 1101 15D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20 10

Umwandlung von Binär in Dezimal
Um eine Binärzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, muss sie als Polynom geschrieben werden, das aus den Produkten der Ziffern der Zahl und der entsprechenden Potenz der Zahl 2 besteht, und nach den Regeln der Dezimalarithmetik berechnet werden: X10 \ u003d An 2n-1 + An-1 2n-2 + An-2 2n-3 +…+À2 21 + À1 20
Zahlenübersetzung

Oktal in Dezimal umwandeln
Um eine Oktalzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, muss sie als Polynom geschrieben werden, das aus den Produkten der Ziffern der Zahl und der entsprechenden Potenz der Zahl 8 besteht, und nach den Regeln der Dezimalarithmetik berechnet werden: X10 \ u003d An 8n-1 + An-1 8n-2 + An-2 8n-3 +…+À2 81 + À1 80
Zahlenübersetzung

Hexadezimal in Dezimal umwandeln
Um eine Hexadezimalzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, muss sie als Polynom geschrieben werden, das aus den Produkten der Ziffern der Zahl und der entsprechenden Potenz der Zahl 16 besteht, und nach den Regeln der Dezimalarithmetik berechnet werden: X10 \ u003d An 16n-1 + An-1 16n-2 + An-2 16n-3 +…+À2 161 + À1 160
Zahlenübersetzung

Umwandlung von Dezimal in Binär
Um eine Dezimalzahl in das Binärsystem umzuwandeln, muss sie nacheinander durch 2 dividiert werden, bis ein Rest kleiner oder gleich 1 bleibt. Eine Zahl im Binärsystem wird als Folge aus dem letzten Ergebnis der Division und dem Rest geschrieben der Teilung in umgekehrter Reihenfolge. Beispiel: Wandeln Sie die Zahl 2210 in binär um: 2210=101102
Zahlenübersetzung

Umwandlung von Dezimal zu Oktal
Um eine Dezimalzahl in das Oktalsystem umzuwandeln, muss sie nacheinander durch 8 geteilt werden, bis ein Rest kleiner oder gleich 7 bleibt. Eine Zahl im Oktalsystem wird als Ziffernfolge des letzten Ergebnisses der Division und geschrieben der Rest der Teilung in umgekehrter Reihenfolge. Beispiel: Wandeln Sie die Zahl 57110 in Oktal um: 57110=10738
Zahlenübersetzung

Umwandlung von Dezimal in Hexadezimal
Um eine Dezimalzahl in das Hexadezimalsystem umzuwandeln, muss sie nacheinander durch 16 geteilt werden, bis ein Rest kleiner oder gleich 15 bleibt. Eine Zahl im Hexadezimalsystem wird als Ziffernfolge aus dem letzten Ergebnis der Division und dem geschrieben Rest der Teilung in umgekehrter Reihenfolge. Beispiel: Wandeln Sie die Zahl 746710 in hexadezimal um: 746710=1D2B16
Zahlenübersetzung

Zahlen von binär nach oktal umwandeln
Um eine Zahl von binär in oktal umzuwandeln, muss sie in Triaden (Dreier von Ziffern) unterteilt werden, wobei mit der niederwertigsten Ziffer begonnen wird, falls erforderlich, die höchste Triade durch Nullen ergänzt wird und jede Triade durch die entsprechende Oktalziffer ersetzt wird. Beim Übersetzen müssen Sie eine Binär-Oktal-Tabelle verwenden: Beispiel: Wandeln Sie die Zahl 10010112 in oktal um: 001 001 0112=1138
8. 0 1 2 3 4 5 6 7
Zahlenübersetzung

Umwandlung von Binär in Hexadezimal
Um eine Zahl von binär in hexadezimal umzuwandeln, muss sie in Tetraden (vier Ziffern) unterteilt werden. Binäre Hexadezimaltabelle: Beispiel: Wandeln Sie die Zahl 10111000112 in hexadezimal um: 0010 1110 00112=2E316
16. 0 1 2 3 4 5 6 7
16-fach 8 9 A B C D E F
Zahlenübersetzung

Konvertieren einer Oktalzahl in eine Binärzahl
Um eine Oktalzahl in eine Binärzahl umzuwandeln, muss jede Ziffer durch ihre entsprechende binäre Triade ersetzt werden. Beispiel: Wandeln Sie die Zahl 5318 in binär um: 5318=101 011 0012
2. 000 001 010 011 100 101 110 111
8. 0 1 2 3 4 5 6 7
Zahlenübersetzung

Konvertieren von Hexadezimal in Binär
Um eine Hexadezimalzahl in eine Binärzahl umzuwandeln, muss jede Ziffer durch ihre entsprechende binäre Tetrade ersetzt werden. Beispiel: Wandeln Sie die Zahl EE816 in das Binärsystem um: EE816=1110111010002
2. 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
16. 0 1 2 3 4 5 6 7
2. 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
16-fach 8 9 A B C D E F
Zahlenübersetzung

Konvertieren von oktal nach hexadezimal und umgekehrt
Beim Umschalten von oktal auf hexadezimal und umgekehrt ist eine zwischenzeitliche Umwandlung von Zahlen in binär erforderlich. Beispiel 1: Konvertiere FEA16 in Oktal: FEA16=1111111010102=111 111 101 0102=77528 Beispiel 2: Konvertiere 66358 in Hexadezimal: 66358=1101100111012=1101 1001 11012=D9D16
Zahlenübersetzung

Einzelsystem
In der Antike, als es notwendig war, Zahlen aufzuzeichnen, wurde die Anzahl der Objekte durch Striche oder Serifen auf einer harten Oberfläche dargestellt. Archäologen haben solche "Aufzeichnungen" bei Ausgrabungen von Kulturschichten aus der Altsteinzeit (10-11.000 Jahre v. Chr.) Gefunden. In einem solchen System wurde nur eine Art von Zeichen verwendet - ein Stock. Jede Zahl wurde mit einer Schnur aus Stöcken bezeichnet, deren Anzahl der bezeichneten Zahl entsprach.
Antike Zahlensysteme

Altgriechische Nummerierung

Dachbodennummerierung
Ionisches System
Im dritten Jahrhundert v. Die attische Nummerierung wurde durch das ionische System ersetzt.
BEIM Antike Die Dachbodennummerierung war in Griechenland üblich.
Antike Zahlensysteme

Slawische Nummerierung
In Russland blieb die slawische Nummerierung bis Ende des 17. Jahrhunderts erhalten. Die süd- und ostslawischen Völker verwendeten die alphabetische Nummerierung, um Zahlen aufzuzeichnen. Die slawische Nummerierung blieb nur in liturgischen Büchern erhalten. Über dem Buchstaben, der die Nummer angibt, wurde ein spezielles Symbol platziert: („titlo“). Um Tausende zu bezeichnen, wurde ein spezielles Zeichen vor die Zahl gesetzt (unten links).
Z
Antike Zahlensysteme

Römische Nummerierung
Die alten Römer verwendeten eine Nummerierung, die sich bis heute unter dem Namen "Römische Nummerierung" erhalten hat. Wir verwenden es zur Bezeichnung von Jahrhunderten, Jubiläen, zur Benennung von Kongressen und Konferenzen, zur Nummerierung der Kapitel eines Buches oder der Strophen eines Gedichts.
I - 1 V - 5 X - 10 L - 50 C - 100 D - 500 M - 1000
Zahlen in römischer Numerierung schreiben:
Antike Zahlensysteme

Ionisches System
Notation von Zahlen im ionischen Zahlensystem

Nummernbezeichnung im altslawischen Nummernsystem
Slawische Nummerierung

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