Tutorial: Zeitreihenanalyse. Methoden zur Zeitreihenanalyse Modelle von Komponenten der deterministischen Komponente einer Zeitreihe

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Der Zweck der Zeitreihenanalyse besteht in der Regel darin, ein mathematisches Modell der Reihe zu erstellen, mit dessen Hilfe man ihr Verhalten erklären und eine Prognose für einen bestimmten Zeitraum erstellen kann. Die Zeitreihenanalyse umfasst die folgenden Hauptschritte.

Die Analyse einer Zeitreihe beginnt normalerweise mit der Erstellung und Untersuchung ihres Diagramms.

Wenn die instationäre Natur einer Zeitreihe offensichtlich ist, besteht der erste Schritt darin, die instationäre Komponente der Zeitreihe zu isolieren und zu entfernen. Der Prozess der Entfernung eines Trends und anderer Komponenten einer Reihe, die zu einer Verletzung der Stationarität führen, kann in mehreren Schritten erfolgen. Jeder von ihnen untersucht eine Reihe von Residuen, die durch Subtraktion eines ausgewählten Trendmodells von der Originalreihe erhalten werden, oder das Ergebnis von Differenz- und anderen Transformationen der Reihe. Zusätzlich zu Diagrammen können Anzeichen der Nichtstationarität einer Zeitreihe durch eine Autokorrelationsfunktion angezeigt werden, die nicht gegen Null tendiert (mit Ausnahme sehr großer Verzögerungswerte).

Auswahl eines Modells für eine Zeitreihe. Nachdem der anfängliche Prozess möglichst stationär ist, können Sie mit der Auswahl verschiedener Modelle des resultierenden Prozesses beginnen. Der Zweck dieser Phase besteht darin, die Korrelationsstruktur des betrachteten Prozesses zu beschreiben und in der weiteren Analyse zu berücksichtigen. In der Praxis werden am häufigsten parametrische autoregressive gleitende Durchschnittsmodelle (ARIMA-Modelle) verwendet.

Ein Modell kann als angepasst betrachtet werden, wenn die Restkomponente der Reihe ein Prozess vom Typ „weißes Rauschen“ ist, wenn die Residuen gemäß einem Normalgesetz mit einem Stichprobenmittelwert von 0 verteilt sind. Nach der Anpassung eines Modells werden normalerweise die folgenden Schritte ausgeführt :

Bewertung der Streuung der Residuen, die später zur Konstruktion von Konfidenzintervallen für die Prognose verwendet werden kann;

Analyse der Residuen zur Überprüfung der Angemessenheit des Modells.

Prognose und Interpolation. Der letzte Schritt der Zeitreihenanalyse kann darin bestehen, die Zukunft vorherzusagen (Extrapolation) oder fehlende Werte (Interpolation) wiederherzustellen und die Genauigkeit dieser Prognose basierend auf dem ausgewählten Modell anzugeben. Es ist nicht immer möglich, ein gutes mathematisches Modell für eine Zeitreihe auszuwählen. Unklarheiten bei der Auswahl eines Modells können sowohl auf der Stufe der Isolierung der deterministischen Komponente einer Reihe als auch bei der Wahl der Struktur einer Reihe von Resten beobachtet werden. Daher greifen Forscher häufig auf die Methode mehrerer Prognosen zurück, die mit unterschiedlichen Modellen erstellt werden.

Analysemethoden. Die folgenden Methoden werden üblicherweise in der Zeitreihenanalyse verwendet:

grafische Methoden zur Darstellung von Zeitreihen und den dazugehörigen numerischen Merkmalen;

Methoden zur Reduktion auf stationäre Prozesse: Detrending, Modelle mit gleitendem Durchschnitt und Autoregression;

Methoden zur Untersuchung interner Zusammenhänge zwischen Elementen von Zeitreihen.

3.5. Grafische Methoden zur Zeitreihenanalyse

Warum werden grafische Methoden benötigt? In Stichprobenstudien liefern die einfachsten numerischen Merkmale der deskriptiven Statistik (Mittelwert, Median, Varianz, Standardabweichung) normalerweise ein recht aussagekräftiges Bild der Stichprobe. Grafische Methoden zur Darstellung und Analyse von Proben spielen lediglich eine unterstützende Rolle und ermöglichen ein besseres Verständnis der Lokalisierung und Konzentration von Daten, ihres Verteilungsgesetzes.

Die Rolle grafischer Methoden in der Zeitreihenanalyse ist eine völlig andere. Tatsache ist, dass eine tabellarische Darstellung einer Zeitreihe und deskriptive Statistiken es oft nicht ermöglichen, die Natur des Prozesses zu verstehen, während aus einem Zeitreihendiagramm viele Schlussfolgerungen gezogen werden können. Zukünftig können sie durch Berechnungen überprüft und verfeinert werden.

Bei der Analyse der Diagramme können Sie ziemlich sicher feststellen:

Vorhandensein eines Trends und seine Art;

das Vorhandensein saisonaler und zyklischer Komponenten;

der Grad der Glätte oder Diskontinuität von Änderungen aufeinanderfolgender Werte einer Reihe nach der Trendbereinigung. Anhand dieses Indikators kann man die Art und das Ausmaß der Korrelation zwischen benachbarten Elementen der Reihe beurteilen.

Konstruktion und Studium eines Diagramms. Das Zeichnen eines Zeitreihendiagramms ist gar nicht so einfach, wie es auf den ersten Blick scheint. Die moderne Ebene der Zeitreihenanalyse beinhaltet die Verwendung des einen oder anderen Computerprogramms zur Erstellung ihrer Diagramme und aller nachfolgenden Analysen. Die meisten Statistikpakete und Tabellenkalkulationen sind mit einer Methode zum Einrichten der optimalen Darstellung einer Zeitreihe ausgestattet, aber selbst bei deren Verwendung können verschiedene Probleme auftreten, zum Beispiel:

Aufgrund der begrenzten Auflösung von Computerbildschirmen kann auch die Größe der angezeigten Grafiken begrenzt sein;

Bei großen Mengen analysierter Serien können sich Punkte auf dem Bildschirm, die Beobachtungen der Zeitserie darstellen, in einen durchgehenden schwarzen Streifen verwandeln.

Um diesen Schwierigkeiten entgegenzuwirken, werden verschiedene Methoden eingesetzt. Das Vorhandensein eines „Lupe“- oder „Vergrößerungs“-Modus im grafischen Verfahren ermöglicht die Darstellung eines größeren ausgewählten Teils der Serie, es wird jedoch schwierig, die Art des Verhaltens der Serie über das gesamte analysierte Intervall zu beurteilen. Sie müssen Diagramme für einzelne Teile der Serie ausdrucken und diese zusammenfügen, um das Bild des Verhaltens der Serie als Ganzes zu sehen. Wird manchmal verwendet, um die Reproduktion langer Reihen zu verbessern Verdünnung, Das heißt, jede Sekunde, jedes Fünftel, jedes Zehntel usw. wird im Diagramm ausgewählt und angezeigt. Zeitreihenpunkte. Dieses Verfahren behält eine ganzheitliche Sicht auf die Reihe bei und ist nützlich für die Erkennung von Trends. In der Praxis ist eine Kombination beider Verfahren sinnvoll: Zerlegen der Reihe in Teile und Ausdünnen, da sie es ermöglichen, die Charakteristika des Verhaltens der Zeitreihe zu bestimmen.

Ein weiteres Problem bei der Reproduktion von Diagrammen entsteht durch Emissionen– Beobachtungen, deren Betrag um ein Vielfaches größer ist als die meisten anderen Werte in der Reihe. Ihre Anwesenheit führt auch dazu, dass Schwankungen in der Zeitreihe nicht unterscheidbar sind, da das Programm den Bildmaßstab automatisch so wählt, dass alle Beobachtungen auf den Bildschirm passen. Durch die Auswahl eines anderen Maßstabs auf der Y-Achse wird dieses Problem behoben, aber stark unterschiedliche Beobachtungen bleiben außerhalb des Bildschirms.

Hilfsgrafiken. Bei der Analyse von Zeitreihen werden häufig Hilfsgraphen für die numerischen Merkmale der Reihe verwendet:

Diagramm einer Beispiel-Autokorrelationsfunktion (Korrelogramm) mit einer Konfidenzzone (Röhre) für eine Autokorrelationsfunktion von Null;

Diagramm der partiellen Autokorrelationsfunktion der Stichprobe mit einer Konfidenzzone für die partielle Autokorrelationsfunktion Null;

Periodogramm-Diagramm.

Die ersten beiden dieser Diagramme ermöglichen die Beurteilung der Beziehung (Abhängigkeit) benachbarter Werte der Zeit rad; sie werden bei der Auswahl parametrischer Modelle der Autoregression und des gleitenden Durchschnitts verwendet. Mithilfe des Periodogrammdiagramms lässt sich das Vorhandensein harmonischer Komponenten in einer Zeitreihe beurteilen.

In Statistik, Signalverarbeitung und vielen anderen Bereichen unter Zeitfolgen bezieht sich auf Daten, die nacheinander in bestimmten (oft gleichen) Zeitintervallen gemessen werden. Zeitreihenanalyse kombiniert Methoden zur Untersuchung von Zeitreihen, wobei sowohl versucht wird, die Natur von Datenpunkten zu verstehen (woher kommen sie? Was hat sie generiert?) als auch versucht, eine Prognose zu erstellen. Zeitreihenvorhersage besteht darin, ein Modell zu erstellen, um zukünftige Ereignisse auf der Grundlage bekannter vergangener Ereignisse vorherzusagen und zukünftige Daten vorherzusagen, bevor sie gemessen werden. Ein typisches Beispiel ist die Vorhersage des Eröffnungskurses einer Börse auf der Grundlage ihrer vorherigen Aktivität.

Konzept Zeitreihenanalyse wird verwendet, um diese Aufgabe erstens von einfacheren Problemen der Datenanalyse (bei denen es keine natürliche Reihenfolge des Eintreffens von Beobachtungen gibt) und zweitens von der räumlichen Datenanalyse zu unterscheiden, bei der Beobachtungen häufig mit dem geografischen Standort verknüpft sind. Das Zeitreihenmodell spiegelt im Allgemeinen die Idee wider, dass Beobachtungen, die zeitlich nah beieinander liegen, enger miteinander verbunden sind als solche, die weit entfernt liegen. Darüber hinaus verwenden Zeitreihenmodelle häufig eine unidirektionale Zeitreihenfolge in dem Sinne, dass die Werte in der Reihe auf irgendeine Weise als vergangene Werte und nicht als nachfolgende Werte ausgedrückt werden (siehe Zeitreversibilität).

Zeitreihenanalysemethoden werden häufig in zwei Klassen unterteilt: Frequenzbereichsanalyse und Zeitbereichsanalyse. Die erste basiert auf der Spektralanalyse und neuerdings auch der Wavelet-Analyse und kann als modellfreie Analysemethode betrachtet werden, die sich gut für Studien im Explorationsstadium eignet. Methoden der Zeitbereichsanalyse verfügen ebenfalls über eine modellfreie Teilmenge bestehend aus Kreuzkorrelationsanalyse und Autokorrelationsanalyse, hier kommen jedoch teilweise und vollständig spezifizierte Zeitreihenmodelle ins Spiel.

Zeitreihenanalyse

Es gibt verschiedene Datenanalysetechniken, die auf Zeitreihen anwendbar sind.

Allgemeine Forschung

Visuelle Erkundung grafischer Darstellungen von Zeitreihen
Autokorrelationsanalyse zur Untersuchung von Abhängigkeiten
Spektralanalyse zur Untersuchung nicht-saisonaler zyklischer Verhaltensweisen

Beschreibung

Trennung der Komponenten: Trend, Saisonalität, sich langsam und schnell ändernde Komponenten, zyklische Unregelmäßigkeit
Die einfachsten Eigenschaften privater Distributionen

Prognose und Vorhersage

Vollständige statistische Modelle in der stochastischen Modellierung zur Erstellung alternativer Versionen von Zeitreihen, die zeigen, was in beliebigen Zeitintervallen in der Zukunft passieren könnte (Vorhersage)
Vereinfachte oder vollwertige statistische Modelle zur Beschreibung der wahrscheinlichen Werte einer Zeitreihe in der nahen Zukunft unter Berücksichtigung der neuesten bekannten Werte (Prognose)

Zeitreihenmodelle

Wie Box und Jenkins zeigen, können Zeitreihenmodelle unterschiedliche Formen annehmen und unterschiedliche stochastische Prozesse darstellen. Bei der Modellierung von Änderungen auf Prozessebene können drei große Klassen von praktischem Nutzen unterschieden werden: autoregressive Modelle, Integrale Modelle und Modelle gleitender Durchschnitt. Diese drei Klassen hängen linear von den vorherigen Daten ab. Auf dieser Grundlage wurden Modelle des autoregressiven gleitenden Durchschnitts (ARMA) und des autoregressiven integrierten gleitenden Durchschnitts (ARIMA) erstellt. Diese Modelle werden wiederum durch das autoregressive Fractionally Integrated Moving Average (ARFIMA)-Modell verallgemeinert. Erweiterungen von Modellen auf Fälle, in denen Daten nicht skalar, sondern vektoriell dargestellt werden, werden als multivariate Zeitreihenmodelle bezeichnet. Bei solchen Modellen erscheint in den abgekürzten Namen der Buchstabe „v“ aus dem Wort „vector“. Es gibt Erweiterungen von Modellen für den Fall, dass die untersuchte Zeitreihe ein Sklave einer „erzwingenden“ Reihe ist (die jedoch möglicherweise nicht die Ursache für das Auftreten der untersuchten Reihe ist). Der Unterschied zu einer multivariaten Reihe besteht darin, dass die Antriebsreihe deterministisch sein oder vom Forscher, der das Experiment durchführt, gesteuert werden kann. Bei solchen Modellen erscheint der Buchstabe „x“ in der Abkürzung für „exogen“ (exogen, durch äußere Ursachen verursacht).

Interessant ist die nichtlineare Abhängigkeit des Reihenniveaus von vorherigen Punkten, teilweise aufgrund der Möglichkeit, chaotische Zeitreihen zu erzeugen. Aber die Hauptsache ist, dass experimentelle Studien die Überlegenheit von Prognosen aus nichtlinearen Modellen gegenüber Prognosen linearer Modelle belegen.

Unter anderen Arten nichtlinearer Zeitreihenmodelle kann man Modelle unterscheiden, die Änderungen der Reihenstreuung über die Zeit (Heteroskedatizität) beschreiben. Solche Modelle werden als autoregressive bedingte Heteroskedastizitätsmodelle (ARCH) bezeichnet. Dazu gehören eine große Anzahl von Modellen: GARCH, TARCH, EGARCH, FIGARCH, CGARCH usw. In diesen Modellen werden Varianzänderungen mit den nächstgelegenen vorherigen Daten verknüpft. Ein Gegengewicht zu diesem Ansatz ist die Darstellung lokal variierender Varianz, bei der die Varianz als abhängig von einem einzelnen zeitlich variierenden Prozess modelliert werden kann, wie in bistochastischen Modellen.

In jüngster Zeit haben vor allem Forschungen im Bereich der modellfreien Analyse und Methoden auf Basis von Wavelet-Transformationen (z. B. lokal stationäre Wavelets) große Beachtung gefunden. Multiskalenanalysemethoden zerlegen eine gegebene Zeitreihe in ihre Bestandteile, um die Zeitabhängigkeit auf verschiedenen Skalen darzustellen.

Bezeichnungen

Es gibt eine Vielzahl von Möglichkeiten, Zeitreihen zu notieren. Eine der typischen ist , was eine Reihe mit natürlichen Indizes bezeichnet. Eine weitere Standarddarstellung:

Annahmen

Es gibt zwei Gruppen von Annahmen, auf denen die meisten Theorien basieren:

Stationarität des Prozesses
Ergodizität

Die Idee der Stationarität wird im weitesten Sinne interpretiert und umfasst zwei Hauptideen: strikte Stationarität und Stationarität zweiter Ordnung (Stationarität im weiteren Sinne). Basierend auf diesen Vorschlägen können sowohl Modelle als auch Anwendungen erstellt werden, obwohl die Modelle später als teilweise spezifiziert betrachtet werden können.

Eine Zeitreihenanalyse kann durchgeführt werden, wenn die Reihe saisonal stationär oder instationär ist.

Modelle

Wo ist die Quelle des Zufalls, des weißen Rauschens? Weißes Rauschen hat die folgenden Eigenschaften.

3.3.1. Methoden zur Analyse und Prognose von Zeitreihen

Modelle stationärer und instationärer Zeitreihen. Betrachten wir die Zeitreihe X(T). Lassen Sie die Zeitreihe zunächst numerische Werte annehmen. Dies kann beispielsweise der Preis eines Brotes in einem nahe gelegenen Geschäft oder der Wechselkurs zwischen Dollar und Rubel in der nächstgelegenen Wechselstube sein. Typischerweise werden im Verhalten einer Zeitreihe zwei Haupttrends identifiziert – Trend und periodische Schwankungen.

Unter einem Trend versteht man dabei eine Zeitabhängigkeit linearer, quadratischer oder anderer Art, die durch die eine oder andere Glättungsmethode (z. B. exponentielle Glättung) oder durch Berechnung, insbesondere nach der Methode der kleinsten Quadrate, ermittelt wird . Mit anderen Worten: Ein Trend ist die Haupttendenz einer Zeitreihe, frei von Zufälligkeiten.

Eine Zeitreihe schwankt in der Regel um einen Trend, wobei Abweichungen vom Trend häufig regelmäßig auftreten. Dies ist häufig mit einer natürlichen oder festgelegten Periodizität verbunden, beispielsweise saisonal oder wöchentlich, monatlich oder vierteljährlich (z. B. in Übereinstimmung mit Gehalts- und Steuerzahlungsplänen). Manchmal sind das Vorhandensein von Periodizität und insbesondere ihre Ursachen unklar, und die Aufgabe des Statistikers besteht darin herauszufinden, ob Periodizität tatsächlich existiert.

Elementare Methoden zur Beurteilung der Eigenschaften von Zeitreihen werden in den Lehrveranstaltungen zur Allgemeinen Theorie der Statistik in der Regel ausreichend ausführlich besprochen (siehe z. B. Lehrbücher), so dass eine detaillierte Betrachtung hier nicht erforderlich ist. Einige moderne Methoden zur Schätzung der Periodenlänge und der periodischen Komponente selbst werden weiter unten in Unterabschnitt 3.3.2 besprochen.

Eigenschaften von Zeitreihen. Für eine detailliertere Untersuchung von Zeitreihen werden probabilistische statistische Modelle verwendet. Gleichzeitig ist die Zeitreihe X(T) wird als zufälliger Prozess (mit diskreter Zeit) betrachtet. Hauptmerkmale X(T) Sind erwarteter Wert X(T), d.h.

Streuung X(T), d.h.

Und Autokorrelationsfunktion Zeitfolgen X(T)

diese. eine Funktion zweier Variablen, die dem Korrelationskoeffizienten zwischen zwei Werten einer Zeitreihe entspricht X(T) Und X(S).

In der theoretischen und angewandten Forschung wird ein breites Spektrum an Zeitreihenmodellen berücksichtigt. Lassen Sie uns zunächst auswählen stationär Modelle. Sie enthalten gemeinsame Verteilungsfunktionen für beliebig oft k und damit alle oben genannten Merkmale der Zeitreihe sich im Laufe der Zeit nicht ändern. Insbesondere sind der mathematische Erwartungswert und die Streuung konstante Größen, die Autokorrelationsfunktion hängt nur von der Differenz ab t - s. Es werden Zeitreihen genannt, die nicht stationär sind instationär.

Lineare Regressionsmodelle mit homoskedastischen und heteroskedastischen, unabhängigen und autokorrelierten Residuen. Wie aus dem oben Gesagten hervorgeht, geht es vor allem darum, die Zeitreihe von zufälligen Abweichungen zu „säubern“, d.h. Schätzung der mathematischen Erwartung. Im Gegensatz zu den einfachsten Modellen der Regressionsanalyse, die in Kapitel 3.2 diskutiert wurden, treten hier natürlich komplexere Modelle auf. Beispielsweise kann die Varianz von der Zeit abhängen. Solche Modelle werden als heteroskedastisch bezeichnet, und solche, bei denen keine Zeitabhängigkeit besteht, werden als homoskedastisch bezeichnet. (Genauer gesagt können sich diese Begriffe nicht nur auf die Zeitvariable, sondern auch auf andere Variablen beziehen.)

Darüber hinaus wurde in Kapitel 3.2 angenommen, dass die Fehler unabhängig voneinander sind. In Bezug auf dieses Kapitel würde dies bedeuten, dass die Autokorrelationsfunktion degeneriert sein muss – gleich 1, wenn die Argumente gleich sind, und 0, wenn sie ungleich sind. Es ist klar, dass dies bei Echtzeitreihen nicht immer der Fall ist. Wenn der natürliche Verlauf der Änderungen im beobachteten Prozess im Vergleich zum Intervall zwischen aufeinanderfolgenden Beobachtungen schnell genug ist, können wir damit rechnen, dass die Autokorrelation „zerfällt“ und praktisch unabhängige Residuen erhält, andernfalls werden die Residuen autokorreliert.

Modellidentifikation. Bei der Modellidentifizierung geht es in der Regel darum, ihre Struktur zu identifizieren und Parameter abzuschätzen. Da auch die Struktur ein Parameter ist, wenn auch ein nicht-numerischer, sprechen wir von einem der typischen Probleme der angewandten Statistik – der Parameterschätzung.

Das Schätzproblem lässt sich am einfachsten für lineare (in Bezug auf Parameter) Modelle mit homoskedastischen unabhängigen Residuen lösen. Die Rekonstruktion von Abhängigkeiten in Zeitreihen kann auf der Grundlage von Methoden der kleinsten Quadrate und kleinsten Modulen der Parameterschätzung in linearen (in Bezug auf Parameter) Regressionsmodellen durchgeführt werden. Die mit der Schätzung des erforderlichen Satzes von Regressoren verbundenen Ergebnisse werden auf den Fall von Zeitreihen übertragen; insbesondere ist es einfach, die limitierende geometrische Verteilung einer Schätzung des Grades eines trigonometrischen Polynoms zu erhalten.

Eine so einfache Übertragung auf eine allgemeinere Situation ist jedoch nicht möglich. So können Sie beispielsweise im Fall einer Zeitreihe mit heteroskedastischen und autokorrelierten Residuen wieder den allgemeinen Ansatz der kleinsten Quadrate verwenden, aber das System der Gleichungen der kleinsten Quadrate und natürlich auch seine Lösung werden anders sein. Die Formeln im Sinne der Matrixalgebra, die in Kapitel 3.2 erwähnt wurden, werden unterschiedlich sein. Daher heißt die betreffende Methode „ verallgemeinerte Methode der kleinsten Quadrate(OMNK)".

Kommentar. Wie in Kapitel 3.2 erwähnt, ermöglicht das einfachste Modell der kleinsten Quadrate sehr breite Verallgemeinerungen, insbesondere im Bereich der Systeme simultaner ökonometrischer Gleichungen für Zeitreihen. Um die relevante Theorie und Algorithmen zu verstehen, ist die Beherrschung der Methoden der Matrixalgebra erforderlich. Daher verweisen wir diejenigen, die sich für die Literatur interessieren, auf Systeme ökonometrischer Gleichungen und direkt auf Zeitreihen, bei denen großes Interesse an der Spektraltheorie besteht, d. h. Dabei wird das Signal vom Rauschen isoliert und in Harmonische zerlegt. Wir möchten noch einmal betonen, dass sich hinter jedem Kapitel dieses Buches ein großer Bereich wissenschaftlicher und angewandter Forschung verbirgt, der es wert ist, große Anstrengungen zu unternehmen. Aufgrund des begrenzten Platzes des Buches sind wir jedoch gezwungen, die Präsentation zusammenzufassen.

Systeme ökonometrischer Gleichungen. Betrachten Sie als erstes Beispiel ein ökonometrisches Modell einer Zeitreihe, die das Wachstum des Verbraucherpreisindex (Inflationsindex) beschreibt. Lassen ICH(T) - Preiserhöhung pro Monat T(Weitere Einzelheiten zu diesem Thema finden Sie in Kapitel 7 in). Nach Ansicht einiger Ökonomen ist es selbstverständlich, dies anzunehmen

ICH(T) = MitICH(T- 1) + A + bS(T- 4) + e, (1)

Wo ICH(T-1) - Preiserhöhung im Vormonat (und Mit - ein bestimmter Dämpfungskoeffizient, was darauf hindeutet, dass die Preiserhöhungen ohne äußere Einflüsse aufhören werden), A- konstant (entspricht einer linearen Änderung des Wertes ICH(T) mit der Zeit), bS(T- 4) – ein Begriff, der dem Einfluss der Geldausgabe (d. h. einer von der Zentralbank durchgeführten Erhöhung des Geldvolumens in der Wirtschaft des Landes) in Höhe des Betrags entspricht S(T- 4) und proportional zu den Emissionen mit einem Koeffizienten B, und dieser Effekt tritt nicht sofort, sondern nach 4 Monaten ein; Schließlich ist e ein unvermeidlicher Fehler.

Modell (1) weist trotz seiner Einfachheit viele Merkmale viel komplexerer ökonometrischer Modelle auf. Beachten wir zunächst, dass einige Variablen innerhalb des Modells definiert (berechnet) werden, wie z ICH(T). Sie heißen endogen (intern). Andere werden von außen gegeben (dies exogen Variablen). Manchmal, wie in der Kontrolltheorie, unter exogenen Variablen, gelang es Variablen sind solche, deren Werte verwendet werden können, um das System in den gewünschten Zustand zu bringen.

Zweitens erscheinen in Beziehung (1) Variablen neuen Typs – mit Verzögerungen, d.h. Die Argumente in den Variablen beziehen sich nicht auf den aktuellen Zeitpunkt, sondern auf einige vergangene Zeitpunkte.

Drittens ist die Erstellung eines ökonometrischen Modells vom Typ (1) keineswegs eine Routineoperation. Zum Beispiel eine Verzögerung der mit der Geldausgabe verbundenen Frist von genau 4 Monaten bS(T- 4) ist das Ergebnis einer recht anspruchsvollen vorläufigen statistischen Verarbeitung. Darüber hinaus muss die Frage der Abhängigkeit oder Unabhängigkeit von Mengen untersucht werden S(T- 4) und Es) zu anderen Zeiten T. Wie oben erwähnt, hängt die konkrete Implementierung des Verfahrens der kleinsten Quadrate von der Lösung dieses Problems ab.

Andererseits gibt es in Modell (1) nur drei unbekannte Parameter, und die Aussage der Methode der kleinsten Quadrate ist nicht schwer aufzuschreiben:

Das Problem der Identifizierbarkeit. Stellen wir uns nun das Tapa-Modell (1) mit einer großen Anzahl endogener und exogener Variablen, mit Verzögerungen und einer komplexen internen Struktur vor. Generell lässt sich nirgendwo ableiten, dass es für ein solches System mindestens eine Lösung gibt. Daher treten nicht ein, sondern zwei Probleme auf. Gibt es mindestens eine Lösung (Identifizierbarkeitsproblem)? Wenn ja, wie können wir die bestmögliche Lösung finden? (Dies ist ein Problem der statistischen Parameterschätzung.)

Sowohl die erste als auch die zweite Aufgabe sind ziemlich schwierig. Um beide Probleme zu lösen, wurden viele, meist recht komplexe Methoden entwickelt, von denen nur einige eine wissenschaftliche Grundlage haben. Insbesondere verwenden sie häufig statistische Schätzungen, die nicht konsistent sind (streng genommen kann man sie nicht einmal als Schätzungen bezeichnen).

Lassen Sie uns kurz einige gängige Techniken bei der Arbeit mit Systemen linearer ökonometrischer Gleichungen beschreiben.

System linearer simultaner ökonometrischer Gleichungen. Rein formal können alle Variablen durch Variablen ausgedrückt werden, die nur vom aktuellen Zeitpunkt abhängen. Im Fall von Gleichung (1) reicht es beispielsweise aus, Folgendes zu sagen:

H(T)=Ich(T- 1), G(t) = S(T- 4).

Dann nimmt die Gleichung die Form an

ICH(T) = MitH(T) + A + bG(T) + e. (2)

Beachten wir hier auch die Möglichkeit, Regressionsmodelle mit Variablenstruktur durch die Einführung von Dummy-Variablen zu verwenden. Zu bestimmten Zeitpunkten nehmen die Werte dieser Variablen (z. B. Anfangswerte) auffällige Werte an, zu anderen verschwinden sie (werden tatsächlich gleich 0). Dadurch beschreibt formal (mathematisch) dasselbe Modell völlig unterschiedliche Abhängigkeiten.

Indirekte, zweistufige und dreistufige Methoden der kleinsten Quadrate. Wie bereits erwähnt, wurden zahlreiche Methoden zur heuristischen Analyse ökonometrischer Gleichungssysteme entwickelt. Sie sollen bestimmte Probleme lösen, die bei der Suche nach numerischen Lösungen für Gleichungssysteme auftreten.

Eines der Probleme hängt mit dem Vorhandensein a priori Beschränkungen der geschätzten Parameter zusammen. Beispielsweise kann das Haushaltseinkommen entweder für Konsum oder Ersparnisse ausgegeben werden. Dies bedeutet, dass die Summe der Anteile dieser beiden Ausgabenarten a priori gleich 1 ist. Und im System der ökonometrischen Gleichungen können diese Anteile unabhängig voneinander teilnehmen. Es entsteht die Idee, sie mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate zu schätzen, ohne auf die apriorische Einschränkung zu achten, und sie dann zu korrigieren. Dieser Ansatz wird als indirekte Methode der kleinsten Quadrate bezeichnet.

Die zweistufige Methode der kleinsten Quadrate schätzt die Parameter einer einzelnen Systemgleichung, anstatt das System als Ganzes zu betrachten. Gleichzeitig wird die dreistufige Methode der kleinsten Quadrate verwendet, um die Parameter des Systems simultaner Gleichungen als Ganzes abzuschätzen. Zunächst wird auf jede Gleichung eine zweistufige Methode angewendet, um die Koeffizienten und Fehler jeder Gleichung abzuschätzen und anschließend eine Schätzung für die Kovarianzfehlermatrix zu erstellen. Anschließend wird die verallgemeinerte Methode der kleinsten Quadrate verwendet, um die Koeffizienten des Gesamtsystems zu schätzen.

Ein Manager und Wirtschaftswissenschaftler sollte kein Spezialist für die Erstellung und Lösung ökonometrischer Gleichungssysteme werden, auch nicht mit Hilfe bestimmter Softwaresysteme, sondern er sollte sich der Fähigkeiten dieses Bereichs der Ökonometrie bewusst sein, um dies im Produktionsfall zu tun Bedarf, gekonnt eine Aufgabe für Spezialisten für angewandte Statistik formulieren.

Von der Beurteilung des Trends (der Haupttendenz) gehen wir zur zweiten Hauptaufgabe der Zeitreihenökonometrie über – der Beurteilung des Zeitraums (Zyklus).

Bei der Analyse der Diagramme können Sie ziemlich sicher feststellen:

· Vorhandensein eines Trends und seine Art;

· das Vorhandensein saisonaler und zyklischer Komponenten;

· der Grad der Glätte oder Diskontinuität von Änderungen aufeinanderfolgender Werte einer Reihe nach der Trendbereinigung. Anhand dieses Indikators kann man die Art und das Ausmaß der Korrelation zwischen benachbarten Elementen der Reihe beurteilen.

· Aufgrund der begrenzten Auflösung von Computerbildschirmen kann auch die Größe der angezeigten Grafiken begrenzt sein;

· Bei großen Mengen analysierter Serien können sich Punkte auf dem Bildschirm, die Beobachtungen der Zeitserie darstellen, in einen durchgehenden schwarzen Streifen verwandeln.

Hilfsgrafiken. Bei der Analyse von Zeitreihen werden häufig Hilfsgraphen für die numerischen Merkmale der Reihe verwendet:

· Diagramm einer Beispiel-Autokorrelationsfunktion (Korrelogramm) mit einer Konfidenzzone (Röhre) für eine Autokorrelationsfunktion von Null;

· Diagramm der partiellen Autokorrelationsfunktion der Stichprobe mit einer Konfidenzzone für die partielle Autokorrelationsfunktion Null;

· Periodogramm-Diagramm.

Beispiel für eine Zeitreihenanalyse

Lassen Sie uns den Ablauf der Zeitreihenanalyse anhand des folgenden Beispiels demonstrieren. Tabelle 8 zeigt Daten zum Verkauf von Lebensmitteln in einem Geschäft in relativen Einheiten ( Y t). Entwickeln Sie ein Verkaufsmodell und prognostizieren Sie das Verkaufsvolumen für die ersten 6 Monate des Jahres 1996. Begründen Sie die Schlussfolgerungen.

Tabelle 8

Monat	Y t

Lassen Sie uns diese Funktion grafisch darstellen (Abb. 8).

Die Analyse der Grafik zeigt:

· Die Zeitreihe weist einen nahezu linearen Trend auf.

· Es besteht eine gewisse Zyklizität (Wiederholung) der Vertriebsprozesse mit einer Zyklusdauer von 6 Monaten.

· Die Zeitreihe ist instationär; um sie in eine stationäre Form zu bringen, muss der Trend daraus entfernt werden.

Nach einer Neuzeichnung des Diagramms mit einem Zeitraum von 6 Monaten sieht es folgendermaßen aus (Abb. 9). Da die Schwankungen der Verkaufsmengen recht groß sind (dies ist aus der Grafik ersichtlich), ist eine Glättung erforderlich, um den Trend genauer bestimmen zu können.

Es gibt verschiedene Ansätze zur Glättung von Zeitreihen:

Ø Einfaches Glätten.

Ø Methode des gewichteten gleitenden Durchschnitts.

Ø Browns exponentielle Glättungsmethode.

Einfaches Glätten basiert auf der Transformation der ursprünglichen Reihe in eine andere, deren Werte über drei benachbarte Punkte der Zeitreihe gemittelt werden:

(3.10)

für das 1. Mitglied der Serie

(3.11)

Für N Das (letzte) Mitglied der Serie

(3.12)

Methode des gewichteten gleitenden Durchschnitts Der Unterschied zur einfachen Glättung besteht darin, dass der Parameter enthalten ist w t, was eine Glättung um 5 oder 7 Punkte ermöglicht

Für Polynome 2. und 3. Ordnung beträgt der Parameterwert w t aus der folgenden Tabelle ermittelt

m = 5	-3				-3
m = 7	-2						-2

Browns exponentielle Glättungsmethode verwendet frühere Werte der Reihe mit einem bestimmten Gewicht. Darüber hinaus nimmt das Gewicht ab, wenn man sich von der aktuellen Zeit entfernt

, (3.14)

wobei a der Glättungsparameter ist (1 > a > 0);

(1 - a) – Koeffizient. Diskontierung.

S o wird normalerweise gleich Y 1 oder dem Durchschnitt der ersten drei Werte der Reihe gewählt.

Lassen Sie uns eine einfache Glättung der Reihe durchführen. Die Ergebnisse der Glättung der Reihe sind in Tabelle 9 dargestellt. Die erhaltenen Ergebnisse sind in Abb. 10 grafisch dargestellt. Die wiederholte Anwendung des Glättungsverfahrens auf die Zeitreihe führt zu einer glatteren Kurve. Die Ergebnisse wiederholter Glättungsberechnungen sind ebenfalls in Tabelle 9 dargestellt. Lassen Sie uns Schätzungen der Parameter des linearen Trendmodells mithilfe der im vorherigen Abschnitt erläuterten Methode ermitteln. Die Berechnungsergebnisse lauten wie folgt:

Plural R	0,933302
R Quadrat	0,871052
`a 0 = 212,9729043 `t = 30,26026442 `a 1 = 5,533978254 `t = 13,50506944 F = 182,3869

Ein verfeinertes Diagramm mit einer Trendlinie und einem Trendmodell ist in Abb. dargestellt. 12.

Monat	Y t	Y 1t	Y2t

Tabelle 9

Reis. 12

Der nächste Schritt besteht darin Entfernen eines Trends aus der ursprünglichen Zeitreihe.

Um den Trend zu entfernen, subtrahieren wir von jedem Element der Originalreihe die mit dem Trendmodell berechneten Werte. Die erhaltenen Werte stellen wir in Abb. 13 grafisch dar.

Die resultierenden Rückstände sind, wie aus Abb. 13, sind um Null herum gruppiert, was bedeutet, dass die Reihe nahezu stationär ist.

Um ein Histogramm der Verteilung der Reste zu erstellen, werden die Gruppierungsintervalle der Reihenreste berechnet. Die Anzahl der Intervalle wird aus der Bedingung bestimmt, dass der Durchschnitt in das Intervall von 3-4 Beobachtungen fällt. Nehmen wir für unseren Fall 8 Intervalle. Der Bereich der Serie (Extremwerte) liegt zwischen –40 und +40. Die Breite des Intervalls ist als 80/8 =10 definiert. Die Grenzen der Intervalle werden aus dem Minimalwert des Bereichs der resultierenden Reihe berechnet


-40	-30	-20	-10

Bestimmen wir nun die akkumulierten Häufigkeiten der Serienreste, die in jedes Intervall fallen, und zeichnen wir ein Histogramm (Abb. 14).

Die Analyse des Histogramms zeigt, dass sich die Residuen um 0 gruppieren. Allerdings gibt es im Bereich von 30 bis 40 einige lokale Ausreißer, was darauf hindeutet, dass einige saisonale oder zyklische Komponenten nicht berücksichtigt oder aus der ursprünglichen Zeitreihe entfernt wurden. Genauere Schlussfolgerungen über die Art der Verteilung und ihre Zugehörigkeit zur Normalverteilung können nach Prüfung der statistischen Hypothese über die Art der Residuenverteilung gezogen werden. Bei der manuellen Verarbeitung von Zeilen beschränkt man sich in der Regel auf die visuelle Analyse der resultierenden Zeilen. Bei der Verarbeitung auf einem Computer ist eine umfassendere Analyse möglich.

Was ist das Kriterium für die Durchführung einer Zeitreihenanalyse? Typischerweise verwenden Forscher zwei Kriterien, die sich von den Kriterien für die Modellqualität in der Korrelations-Regressionsanalyse unterscheiden.

Erstes Kriterium Die Qualität des ausgewählten Zeitreihenmodells basiert auf der Analyse der Residuen der Reihe nach Entfernung des Trends und anderer Komponenten daraus. Objektive Bewertungen basieren auf der Prüfung der Hypothese, dass die Residuen normalverteilt sind und der Stichprobenmittelwert gleich Null ist. Bei manuellen Berechnungsmethoden werden manchmal die Schiefe- und Kurtosis-Indikatoren der resultierenden Verteilung bewertet. Liegen sie nahe bei Null, gilt die Verteilung als nahezu normal. Asymmetrie, A wird berechnet als:

Für den Fall, dass A< 0, то эмпирическое распределение несимметрично и сдвинуто вправо. При A >0 ist die Verteilung nach links verschoben. Bei A = 0 ist die Verteilung symmetrisch.

Überschuss, E. Ein Indikator, der die Konvexität oder Konkavität empirischer Verteilungen charakterisiert

Wenn E größer oder gleich Null ist, ist die Verteilung konvex, in anderen Fällen ist sie konkav.

Zweites Kriterium basiert auf der Analyse des Korrelogramms der transformierten Zeitreihe. Für den Fall, dass es keine Korrelationen zwischen einzelnen Messungen gibt oder sie kleiner als ein bestimmter Wert (normalerweise 0,1) sind, wird davon ausgegangen, dass alle Komponenten der Reihe berücksichtigt und entfernt wurden und die Residuen nicht miteinander korreliert sind. Im weiteren Verlauf der Serie verbleibt eine gewisse Zufallskomponente, die als „weißes Rauschen“ bezeichnet wird.

Zusammenfassung

Der Einsatz von Methoden der Zeitreihenanalyse in der Wirtschaftswissenschaft ermöglicht es uns, eine sinnvolle Prognose von Veränderungen der untersuchten Indikatoren unter bestimmten Bedingungen und Eigenschaften der Zeitreihe zu erstellen. Die Zeitreihe muss ein ausreichendes Volumen haben und mindestens 4 Wiederholungszyklen der untersuchten Prozesse enthalten. Darüber hinaus sollte die Zufallskomponente der Reihe nicht mit anderen zyklischen und saisonalen Komponenten der Reihe vergleichbar sein. In diesem Fall haben die resultierenden Prognoseschätzungen praktische Bedeutung.

Literatur

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Einführung

In diesem Kapitel wird das Problem der Beschreibung geordneter Daten untersucht, die sequentiell (im Laufe der Zeit) erhalten werden. Im Allgemeinen kann die Ordnung nicht nur in der Zeit, sondern auch im Raum erfolgen, beispielsweise der Durchmesser eines Fadens als Funktion seiner Länge (eindimensionaler Fall), der Wert der Lufttemperatur als Funktion von Raumkoordinaten (dreidimensionaler Fall). -dimensionaler Fall).

Im Gegensatz zur Regressionsanalyse, bei der die Reihenfolge der Zeilen in der Beobachtungsmatrix beliebig sein kann, ist bei Zeitreihen die Reihenfolge wichtig und daher die Beziehung zwischen Werten zu verschiedenen Zeitpunkten von Interesse.

Sind die Werte einer Reihe zu einzelnen Zeitpunkten bekannt, so nennt man eine solche Reihe diskret, im Gegensatz zu kontinuierlich, deren Werte jederzeit bekannt sind. Nennen wir das Intervall zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zeitpunkten Takt(Schritt). Hier betrachten wir hauptsächlich diskrete Zeitreihen mit einer festen Taktzykluslänge als Zähleinheit. Beachten Sie, dass Zeitreihen von Wirtschaftsindikatoren in der Regel diskret sind.

Die Serienwerte können sein direkt messbar(Preis, Rentabilität, Temperatur) oder aggregiert (kumulativ), zum Beispiel Ausgabevolumen; Distanz, die Frachtführer während eines Zeitschritts zurücklegen.

Werden die Werte einer Reihe durch eine deterministische mathematische Funktion bestimmt, dann heißt die Reihe deterministisch. Können diese Werte nur durch probabilistische Modelle beschrieben werden, so spricht man von einer Zeitreihe zufällig.

Ein Phänomen, das im Laufe der Zeit auftritt, wird aufgerufen Verfahren Daher können wir von deterministischen oder zufälligen Prozessen sprechen. Im letzteren Fall wird der Begriff häufig verwendet „stochastischer Prozess“. Der analysierte Abschnitt der Zeitreihe kann als eine bestimmte Implementierung (Stichprobe) des untersuchten stochastischen Prozesses betrachtet werden, die durch einen verborgenen probabilistischen Mechanismus erzeugt wird.

Zeitreihen entstehen in vielen Fachgebieten und sind unterschiedlicher Natur. Für ihre Untersuchung wurden verschiedene Methoden vorgeschlagen, was die Theorie der Zeitreihen zu einer sehr umfangreichen Disziplin macht. Somit lassen sich je nach Art der Zeitreihe folgende Abschnitte der Theorie der Zeitreihenanalyse unterscheiden:

– stationäre Zufallsprozesse, die Folgen von Zufallsvariablen beschreiben, deren probabilistische Eigenschaften sich im Laufe der Zeit nicht ändern. Ähnliche Prozesse sind in der Funktechnik, Meteorologie, Seismologie usw. weit verbreitet.

– Diffusionsprozesse, die bei der gegenseitigen Durchdringung von Flüssigkeiten und Gasen ablaufen.

– Punktprozesse, die Abläufe von Ereignissen beschreiben, wie z. B. den Eingang von Serviceanfragen, Naturkatastrophen und vom Menschen verursachte Katastrophen. Ähnliche Prozesse werden in der Warteschlangentheorie untersucht.

Wir beschränken uns auf die Betrachtung der angewandten Aspekte der Zeitreihenanalyse, die bei der Lösung praktischer Probleme in Wirtschaft und Finanzen nützlich sind. Der Schwerpunkt liegt auf Methoden zur Auswahl eines mathematischen Modells zur Beschreibung einer Zeitreihe und zur Vorhersage ihres Verhaltens.

1.Ziele, Methoden und Phasen der Zeitreihenanalyse

Die praktische Untersuchung einer Zeitreihe beinhaltet die Identifizierung der Eigenschaften der Reihe und das Ziehen von Schlussfolgerungen über den probabilistischen Mechanismus, der diese Reihe erzeugt. Die Hauptziele bei der Untersuchung von Zeitreihen sind folgende:

– Beschreibung der charakteristischen Merkmale der Serie in komprimierter Form;

– Aufbau eines Zeitreihenmodells;

– Vorhersage zukünftiger Werte basierend auf vergangenen Beobachtungen;

– Steuerung des Prozesses, der die Zeitreihen generiert, indem Signale abgetastet werden, die vor drohenden unerwünschten Ereignissen warnen.

Das Erreichen der gesetzten Ziele ist nicht immer möglich, sowohl aufgrund fehlender Ausgangsdaten (unzureichende Beobachtungsdauer) als auch aufgrund der Variabilität der statistischen Struktur der Reihe im Zeitverlauf.

Die aufgeführten Ziele bestimmen weitgehend die Abfolge der Phasen der Zeitreihenanalyse:

1) grafische Darstellung und Beschreibung des Verhaltens der Serie;

2) Identifizierung und Ausschluss regelmäßiger, nicht zufälliger Komponenten der Reihe, die von der Zeit abhängen;

3) Untersuchung der Zufallskomponente der Zeitreihe, die nach dem Entfernen der regulären Komponente verbleibt;

4) Konstruktion (Auswahl) eines mathematischen Modells zur Beschreibung der Zufallskomponente und Überprüfung seiner Angemessenheit;

5) Vorhersage zukünftiger Werte der Reihe.

Bei der Analyse von Zeitreihen kommen verschiedene Methoden zum Einsatz, die gebräuchlichsten davon sind:

1) Korrelationsanalyse zur Identifizierung der charakteristischen Merkmale einer Reihe (Periodizitäten, Trends usw.);

2) Spektralanalyse, die es ermöglicht, periodische Komponenten einer Zeitreihe zu finden;

3) Glättungs- und Filtermethoden zur Transformation von Zeitreihen, um hochfrequente und saisonale Schwankungen zu entfernen;

5) Prognosemethoden.

2. Strukturkomponenten einer Zeitreihe

Wie bereits erwähnt, ist es in einem Zeitreihenmodell üblich, zwei Hauptkomponenten zu unterscheiden: deterministisch und zufällig (Abb.). Unter der deterministischen Komponente der Zeitreihe

eine Zahlenfolge verstehen, deren Elemente nach einer bestimmten Regel als Funktion der Zeit berechnet werden T. Indem wir die deterministische Komponente aus den Daten ausschließen, erhalten wir eine um Null oszillierende Reihe, die im einen Extremfall rein zufällige Sprünge und im anderen Fall eine gleichmäßige Oszillationsbewegung darstellen kann. In den meisten Fällen liegt etwas dazwischen: eine gewisse Unregelmäßigkeit und ein systematischer Effekt aufgrund der Abhängigkeit aufeinanderfolgender Terme der Reihe.

Die deterministische Komponente kann wiederum folgende Strukturkomponenten enthalten:

1) Trend g, der eine sanfte Änderung des Prozesses im Laufe der Zeit darstellt und durch die Wirkung langfristiger Faktoren verursacht wird. Als Beispiele für solche Faktoren in der Wirtschaftswissenschaft können wir nennen: a) Veränderungen der demografischen Merkmale der Bevölkerung (Zahlen, Altersstruktur); b) technologische und wirtschaftliche Entwicklung; c) Wachstum des Konsums.

2) saisonaler Effekt S, mit dem Vorhandensein von Faktoren verbunden, die zyklisch mit einer vorgegebenen Häufigkeit wirken. Die Serie hat in diesem Fall eine hierarchische Zeitskala (z. B. gibt es innerhalb eines Jahres Jahreszeiten, die den Jahreszeiten, Quartalen, Monaten zugeordnet sind) und ähnliche Effekte finden an denselben Punkten in der Serie statt.

Reis. Strukturkomponenten einer Zeitreihe.

Typische Beispiele für den saisonalen Effekt: Veränderungen der Autobahnstaus im Laufe des Tages, nach Wochentagen, nach Jahreszeiten, Spitzenverkäufe von Waren für Schulkinder Ende August – Anfang September. Die saisonale Komponente kann sich im Laufe der Zeit ändern oder schwankender Natur sein. Aus der Grafik des Verkehrsaufkommens von Verkehrsflugzeugen (siehe Abbildung) ist ersichtlich, dass lokale Spitzenwerte, die während der Osterfeiertage auftreten, aufgrund der zeitlichen Variabilität „schweben“.

Zyklische Komponente C, beschreibt lange Perioden relativen Anstiegs und Abfalls und besteht aus Zyklen variabler Dauer und Amplitude. Eine ähnliche Komponente ist für eine Reihe makroökonomischer Indikatoren sehr typisch. Zyklische Veränderungen werden hier durch das Zusammenspiel von Angebot und Nachfrage sowie durch das Auferlegen von Faktoren wie Ressourcenverknappung, Wetterbedingungen, Änderungen in der Steuerpolitik usw. verursacht. Beachten Sie, dass die zyklische Komponente mit formalen Methoden äußerst schwer zu identifizieren ist. basierend nur auf den Daten der untersuchten Serie.

„Explosive“ Komponente ich, andernfalls Intervention, die als signifikante kurzfristige Auswirkung auf die Zeitreihe verstanden wird. Ein Beispiel für eine Intervention sind die Ereignisse des „Schwarzen Dienstags“ im Jahr 1994, als der Dollarkurs um mehrere zehn Prozent pro Tag stieg.

Die Zufallskomponente einer Reihe spiegelt den Einfluss zahlreicher Faktoren zufälliger Natur wider und kann eine unterschiedliche Struktur haben, die von der einfachsten in Form von „weißem Rauschen“ bis zu sehr komplexen, beschrieben durch autoregressive-gleitende Durchschnittsmodelle (weitere Details) reicht unten).

Nach der Identifizierung der Strukturkomponenten ist es notwendig, die Form ihres Auftretens in der Zeitreihe zu präzisieren. Auf der obersten Darstellungsebene, bei der nur deterministische und zufällige Komponenten hervorgehoben werden, werden üblicherweise additive oder multiplikative Modelle verwendet.

Das additive Modell hat die Form

;

multiplikativ –