Qoy a(x) Və b(x) – b.m. funksiyalarını yerinə yetirir x® a (x® + ¥, x® –¥, x® x 0, …). Onların nisbətinin həddini nəzərdən keçirək x® a.

1. Əgər = b Və b- son nömrə, b¹ 0, sonra funksiyalar a(x), b(x) sonsuz kiçik adlanır kiçikliyin bir sırası saat x® a.

2. Əgər = 0 olarsa, onda a(x) sonsuz kiçik adlanır daha yüksək sifariş , Necə b(x) saat x® a. Aydındır ki, bu halda = ¥.

3. Əgər a(x) – b.m. daha yüksək sifariş b(x), və = b¹ 0 ( b- son nömrə, kÎ N ), Yəni a(x) sonsuz kiçik adlanır k-ci sıra ilə müqayisədə b(x) saat x® a.

4. Əgər mövcud deyilsə (nə sonlu, nə də sonsuz), onda a(x), b(x) adlandırılır müqayisə olunmaz b.m. saat x® a.

5. Əgər = 1 olarsa, onda a(x), b(x) adlandırılır ekvivalent b.m. saat x® a, aşağıdakı kimi qeyd olunur: a(x) ~ b(x) saat x® a.

Misal 1. a(x) = (1 – x) 3 , b (x) = 1 – x 3 .

Aydındır ki, nə vaxt x® 1 funksiyaları a(x), b(x) b.m. Onları müqayisə etmək üçün onların nisbətinin həddini tapaq x® 1:

Nəticə: a(x b(x) saat x® 1.

Bunu yoxlamaq asandır = (əmin olun!), buradan belə çıxır a(x) – b.m. ilə müqayisədə kiçikliyin 3-cü sırası b(x) saat x® 1.

Misal 2. Funksiyalar a 1 (x) = 4x, a 2 (x) = x 2 , a 3 (x) = günah x, a 4 (x) = tg x-də sonsuz kiçikdir x® 0. Onları müqayisə edək:

0, , = 1, = ¥.

Buradan belə nəticəyə gəlirik a 2 (x) = x 2 – səhər ilə müqayisədə daha yüksək sifariş a 1 (x) Və a 3 (x) (at x® 0), a 1 (x) Və a 3 (x) – b.m. eyni sifariş a 3 (x) Və a 4 (x) – ekvivalent b.m., yəni. günah x~tg x saat x® 0.

Teorem 1. Qoy a(x) ~ a 1 (x), b(x) ~ b 1 (x) saat x® a. Mövcuddursa, onda hər ikisi və = mövcuddur.

Sübut. = 1, = 1,

= = .

Bu teorem hədləri tapmağı asanlaşdırır.

Misal 3.

Birinci əlamətdar həddi görə sin4 x~ 4x, tg3 x~ 3x saat x® 0, buna görə də

Teorem 2. Sonsuz kiçik funksiyalar a(x) Və b(x) ekvivalentdir (ilə x® a) yalnız və yalnız əgər a(x) – b(x) b.m. ilə müqayisədə daha yüksək sifariş a(x) Və b(x) (at x® a).

Sübut

Qoy a(x) ~ b(x) saat x® a. Sonra = = 0, yəni. fərq a(x) – b(x a(x) saat x® a(oxşar b(x)).

Qoy a(x) – b(x) – b.m. ilə müqayisədə daha yüksək sifariş a(x) Və b(x), biz bunu göstərəcəyik a(x) ~ b(x) saat x® a:

= = + = 1,

Test

İntizam: Ali riyaziyyat

Mövzu: Limitlər. Sonsuz kiçiklərin müqayisəsi

1. Nömrə ardıcıllığının həddi

2. Funksiya limiti

3. İkinci gözəl hədd

4. Sonsuz kiçik kəmiyyətlərin müqayisəsi

Ədəbiyyat

1. Nömrə ardıcıllığının həddi

Bir çox riyazi və tətbiqi məsələlərin həlli müəyyən bir şəkildə göstərilən ədədlərin ardıcıllığına gətirib çıxarır. Onların bəzi xüsusiyyətlərini öyrənək.

Tərif 1.1. Hər natural ədəd üçün

1-ci tərifə əsasən aydın olur ki, nömrə ardıcıllığı həmişə sonsuz sayda elementdən ibarətdir. Müxtəlif ədəd ardıcıllığının tədqiqi göstərir ki, say artdıqca onların üzvləri fərqli davranırlar. Onlar qeyri-müəyyən müddətə arta və ya azala bilər, daim müəyyən bir rəqəmə yaxınlaşa bilər və ya heç bir nümunə göstərməyə bilər.

Tərif 1.2. Nömrə

Limiti olan ardıcıllığa konvergent deyilir. Bu halda yazırlar

Aydındır ki, ədədi ardıcıllığın yaxınlaşması məsələsini aydınlaşdırmaq üçün yalnız onun elementlərinin xassələrinə əsaslanacaq bir meyara sahib olmaq lazımdır.

Teorem 1.1.(Ədədlər ardıcıllığının yaxınlaşması haqqında Koşi teoremi). Ədəd ardıcıllığının yaxınlaşması üçün bu, istənilən ədəd üçün zəruri və kifayətdir

Sübut. Zərurət. Nömrə ardıcıllığını nəzərə alsaq

Bundan belə çıxır

Adekvatlıq. Belə verilir

Bir ixtiyari götürək

Bundan belə çıxır

Sonsuz kiçik funksiyalar.

Məqalələrlə açılan “Dummilər üçün məhdudiyyətlər” maarifləndirici silsiləsini davam etdiririk Limitlər. Həll nümunələri Və Möhtəşəm Limitlər. Əgər bu saytda ilk dəfədirsə, dərsi də oxumağı məsləhət görürəm Limitlərin həlli üsulları, bu, tələbə karmanızı əhəmiyyətli dərəcədə yaxşılaşdıracaq. Üçüncü dərslikdə baxdıq sonsuz böyük funksiyalar, onların müqayisəsi və indi özünüzü böyüdücü şüşə ilə silahlandırmaq vaxtıdır ki, Nəhənglər Ölkəsindən sonra Lilliputlar ölkəsinə baxasınız. Yeni il tətillərini mədəniyyət paytaxtında keçirdim və çox yaxşı əhval-ruhiyyə ilə qayıtdım, ona görə də oxumaq xüsusilə maraqlı olacağını vəd edir.

Bu məqalədə ətraflı müzakirə olunacaq sonsuz kiçik funksiyalar, əslində artıq dəfələrlə qarşılaşdığınız və onların müqayisəsi. Bir çox hadisələr sıfıra yaxın görünməyən hadisələrlə sıx bağlıdır. gözəl məhdudiyyətlər, gözəl ekvivalentlər, və dərsin praktiki hissəsi əsasən əlamətdar ekvivalentlərdən istifadə edərək limitlərin hesablanmasına həsr edilmişdir.

Sonsuz kiçik funksiyalar. Sonsuz kiçiklərin müqayisəsi

Nə deyim... Limit varsa, o zaman funksiya çağırılır bir nöqtədə sonsuz kiçik.

Bəyanatın əsas məqamı odur ki funksiya sonsuz kiçik ola bilər yalnız müəyyən bir nöqtədə .

Gəlin tanış bir xətt çəkək:

Bu funksiya sonsuz kiçik bir nöqtədə:
Qeyd etmək lazımdır ki, "plus sonsuz" və "mənfi sonsuz" nöqtələrində bu eyni funksiya daha dar olacaq. sonsuz böyük: . Və ya daha yığcam notasiyada:

Bütün digər nöqtələrdə funksiyanın həddi sıfırdan fərqli sonlu ədədə bərabər olacaqdır.

Beləliklə, belə bir şey yoxdur"sadəcə sonsuz kiçik funksiya" və ya "sadəcə sonsuz böyük funksiya" kimi. Funksiya sonsuz kiçik və ya sonsuz böyük ola bilər yalnız müəyyən bir nöqtədə .

! Qeyd : Qısalıq üçün mən tez-tez "sonsuz kiçik funksiya" deyəcəyəm, yəni sözügedən nöqtədə sonsuz kiçikdir.

Bir neçə və hətta sonsuz sayda belə nöqtələr ola bilər. Bir növ qorxulu olmayan parabola çəkək:

Təqdim olunan kvadrat funksiya iki nöqtədə sonsuz kiçikdir - "bir" və "iki" nöqtədə:

Əvvəlki nümunədə olduğu kimi, sonsuzda bu funksiya sonsuz böyükdür:

İkiqat işarələrin mənası :

Notation o deməkdir ki, nə vaxt və nə vaxt.

Qeyd o deməkdir ki, həm at, həm də.
Şərh edilmiş ikiqat işarələrin “şifrlənməsi” prinsipi təkcə sonsuzluqlar üçün deyil, həm də istənilən son nöqtələr, funksiyalar və bir sıra digər riyazi obyektlər üçün etibarlıdır.

İndi sinüs. Bu funksiyanın olduğu bir nümunədir sonsuz kiçik sonsuz sayda nöqtədə:

Həqiqətən, sinusoid x oxunu hər bir "pi" vasitəsilə "tikir":

Qeyd edək ki, funksiya yuxarı/aşağı sərhədlidir və onun olacağı nöqtə yoxdur sonsuz böyük, sinus yalnız dodaqlarını əbədi olaraq yalaya bilər.

Daha bir neçə sadə suala cavab verəcəyəm:

Funksiya sonsuzda sonsuz kiçik ola bilərmi?

Əlbəttə. Belə nümunələrin bir arabası və kiçik bir arabası var.
Elementar bir misal: . Bu limitin həndəsi mənası, yeri gəlmişkən, məqalədə təsvir edilmişdir Qrafiklər və funksiyaların xassələri.

Funksiya sonsuz kiçik ola bilməzmi?
(istənilən nöqtədə tərif sahəsi)

Bəli. Bunun bariz nümunəsi, qrafiki (parabola) oxu ilə kəsişməyən kvadratik funksiyadır. Əks ifadə, yeri gəlmişkən, ümumiyyətlə səhvdir - əvvəlki sualdakı hiperbola, x oxunu kəsməsə də, lakin sonsuz kiçik sonsuzluqda.

Sonsuz kiçik funksiyaların müqayisəsi

Sıfıra meylli bir ardıcıllıq quraq və üçbucağın bir neçə dəyərini hesablayaq:

Aydındır ki, "x" dəyərləri azaldıqca, funksiya bütün digərlərindən daha sürətli sıfıra qədər işləyir (dəyərləri qırmızı ilə əhatə olunmuşdur). Funksiyadan çox funksiya deyirlər , və kiçikliyin daha yüksək sırası, Necə . Lakin Lilliputlar ölkəsində sürətlə qaçmaq cəsarət deyil; “tonu” ən yavaş cırtdan təyin edir, o, bir patrona yaraşır, hamıdan ləng gedir. Bu ondan asılıdır necə sürətli məbləğ sıfıra yaxınlaşacaq:

Obrazlı desək, sonsuz kiçik funksiya qalan hər şeyi “udur” ki, bu da üçüncü sətrin yekun nəticəsində xüsusilə aydın görünür. Bəzən belə deyirlər kiçikliyin aşağı sırası, Necə və onların miqdarı.

Nəzərdə tutulan limitdə bütün bunlar, əlbəttə ki, çox əhəmiyyət kəsb etmir, çünki nəticə hələ də sıfırdır. Bununla birlikdə, "ağır çəkili midgets" fraksiyalarla məhdudiyyətlərdə əsaslı rol oynamağa başlayır. Nadir hallarda olsa da, real praktik işdə rast gəlinən nümunələrlə başlayaq:

Misal 1

Limiti hesablayın

Burada qeyri-müəyyənlik var və giriş dərsindən funksiyaları çərçivəsində Bu qeyri-müəyyənliyi aşkar etməyin ümumi prinsipini xatırlayaq: siz payı və məxrəci faktorla vurmalı və sonra bir şeyi azaltmalısınız:

İlk addımda, payda , və məxrəcdə “x” çıxarırıq. İkinci addımda biz payı və məxrəci “X” ilə azaldırıq və bununla da qeyri-müəyyənliyi aradan qaldırırıq. Qalan “X”-lərin sıfıra meylli olduğunu göstəririk və cavabı alırıq.

Limitdə nəticə sükan çarxıdır, buna görə də say funksiyası kiçikliyin daha yüksək sırası məxrəc funksiyasından daha çox. Və ya qısaca: . Bunun mənası nədi? Numerator sıfıra meyllidir Daha sürətli, məxrəcdən daha çox, buna görə də sıfırla başa çatdı.

Olduğu kimi sonsuz böyük funksiyalar, cavabı əvvəlcədən öyrənmək olar. Texnika oxşardır, lakin onunla fərqlənir ki, pay və məxrəcdə bütün şərtləri ƏQLİYYƏ atmaq lazımdır. Ağsaqqal dərəcələr, çünki yuxarıda qeyd edildiyi kimi, yavaş cırtdanlar həlledici əhəmiyyətə malikdir:

Misal 2

Limiti hesablayın

Sıfırdan sıfıra... Gəlin cavabı dərhal öyrənək: zehni olaraq hər şeyi ataq ağsaqqal payın və məxrəcin şərtləri (sürətli cırtdanlar):

Həll alqoritmi əvvəlki nümunədəki kimidir:

Bu misalda saydan daha yüksək kiçiklik sırasının məxrəci. "X" dəyərləri azaldıqca, paylayıcının (və bütün limitin) ən yavaş cırtdanı daha sürətli rəqibinə nisbətən əsl canavar olur. Məsələn, əgər varsa, onda - artıq 40 dəfə çox... hələ canavar deyil, əlbəttə ki, "X" mənasını nəzərə alsaq, artıq böyük pivə qarnı olan belə bir mövzu.

Və çox sadə bir nümayiş limiti:

Misal 3

Limiti hesablayın

Gəlin hər şeyi zehni olaraq ataraq cavab tapaq ağsaqqal say və məxrəc terminləri:

Qərar veririk:

Nəticə sonlu ədəddir. Hissənin bossu məxrəcin bosundan düz iki dəfə qalındır. Bu pay və məxrəcin olduğu bir vəziyyətdir kiçikliyin bir sırası.

Əslində, sonsuz kiçik funksiyaların müqayisəsi əvvəlki dərslərdə çoxdan ortaya çıxdı:
(Dərsin 4 nömrəli nümunəsi Limitlər. Həll nümunələri);
(Dərsin 17 nömrəli nümunəsi Limitlərin həlli üsulları) və s.

Eyni zamanda sizə xatırladıram ki, “x” təkcə sıfıra deyil, həm də ixtiyari bir ədədə, eləcə də sonsuzluğa meyl edə bilər.

Nəzərdən keçirilən bütün nümunələrdə əsas olaraq nə vacibdir?

Birincisi, limit müəyyən bir nöqtədə ümumiyyətlə mövcud olmalıdır. Məsələn, heç bir məhdudiyyət yoxdur. Əgər , onda say funksiyası “plus sonsuzluq” nöqtəsində müəyyən edilməmişdir (kök altında belə çıxır). sonsuz böyük mənfi rəqəm). Oxşar, zahirən xəyali nümunələrə praktikada rast gəlinir: gözlənilmədən sonsuz kiçik funksiyaların və “sıfırdan sıfıra” qeyri-müəyyənliyin müqayisəsi də var. Həqiqətən, əgər, onda. …Həll? Dörd mərtəbəli fraksiyadan xilas oluruq, qeyri-müəyyənlik əldə edirik və standart üsuldan istifadə edərək aşkar edirik.

Ola bilsin ki, hədləri öyrənməyə başlayanlar belə bir sualla qarşılaşırlar: “Bu necə mümkündür? 0:0 qeyri-müəyyənlik var, ancaq sıfıra bölmək olmaz!” Tamamilə doğru, mümkün deyil. Eyni həddi nəzərdən keçirək. Funksiya sıfır nöqtəsində müəyyən edilməyib. Ancaq bu, ümumiyyətlə, tələb olunmur. vacibdir belə ki, funksiya HƏR YERDƏ mövcuddur sonsuz olaraq sıfıra yaxındır nöqtə (və ya daha ciddi şəkildə - istənilən vaxt sonsuz kiçik qonşuluq sıfır).

KONSEPSİYA KİMİ LİMİTİN ƏN ƏLAVƏMLI XÜSUSİYYƏTLƏRİ

bu "x" sonsuz yaxın müəyyən nöqtəyə yaxınlaşır, lakin o, “ora getməyə” “məcbur” deyil! Yəni bir nöqtədə funksiyanın limitinin mövcudluğu üçün fərq etməz, funksiyanın özünün orada müəyyən edilib-edilməməsindən asılı olmayaraq. Bu barədə daha ətraflı məqalədə oxuya bilərsiniz Cauchy məhdudiyyətləri, amma indi bugünkü dərsimizin mövzusuna qayıdaq:

İkincisi, pay və məxrəc funksiyaları verilmiş nöqtədə sonsuz kiçik olmalıdır. Beləliklə, məsələn, limit tamamilə fərqli bir əmrdəndir, burada say funksiyası sıfıra meyl etmir: .

Sonsuz kiçik funksiyaların müqayisəsi haqqında məlumatları sistemləşdirək:

Qoy - bir nöqtədə sonsuz kiçik funksiyalar(yəni -də) və onların münasibətlərində məhdudiyyət var. Sonra:

1) Əgər , onda funksiya kiçikliyin daha yüksək sırası, Necə .
Ən sadə misal: , yəni kvadratdan daha yüksək kiçiklik sırasına malik kub funksiyası.

2) Əgər , onda funksiya kiçikliyin daha yüksək sırası, Necə .
Ən sadə misal: , yəni xətti olandan daha yüksək kiçiklik sırasının kvadratik funksiyası.

3) Əgər , burada sıfırdan fərqli sabitdirsə, onda funksiyalar var kiçikliyin eyni sırası.
Ən sadə misal: , başqa sözlə, cırtdan sıfıra doğru - ilə müqayisədə düz iki dəfə yavaş qaçır və aralarındakı "məsafə" sabit qalır.

Ən maraqlı xüsusi hal nə vaxtdır . Belə funksiyalar adlanır sonsuz kiçik ekvivalent funksiyaları.

Əsas nümunə verməzdən əvvəl terminin özündən danışaq. Ekvivalentlik. Bu sözə artıq dərsdə rast gəlinib. Limitlərin həlli üsulları, digər məqalələrdə və bir dəfədən çox görünəcək. Ekvivalentlik nədir? Ekvivalentliyin riyazi tərifi, məntiqi, fiziki və s. var, amma gəlin mahiyyətin özünü anlamağa çalışaq.

Ekvivalentlik müəyyən mənada ekvivalentlikdir (və ya ekvivalentlik).. Əzələlərinizi uzatmağın və ali riyaziyyatdan bir az ara verməyin vaxtıdır. İndi kənarda yaxşı bir yanvar şaxtası var, buna görə yaxşı izolyasiya etmək çox vacibdir. Zəhmət olmasa dəhlizə girin və paltarlar olan şkafı açın. Təsəvvür edin ki, orada yalnız rənginə görə fərqlənən iki eyni qoyun dərisindən asılmış palto var. Biri narıncı, digəri bənövşəyidir. İstilik xüsusiyyətləri baxımından bu qoyun dəriləri ekvivalentdir. Həm birinci, həm də ikinci qoyun dərisində siz eyni dərəcədə isti olacaqsınız, yəni seçim ekvivalentdir, narıncı və ya bənövşəyi geyinmək - qalib gəlmədən: "birə bir bərabərdir". Ancaq yolda təhlükəsizlik baxımından qoyun dərisi artıq ekvivalent deyil - narıncı rəng nəqliyyat vasitələrinin sürücülərinə daha çox görünür, ... və patrul dayanmayacaq, çünki belə paltarın sahibi ilə hər şey aydındır. Bu baxımdan, qoyun dərisinin "eyni ölçüdə" olduğunu, nisbətən desək, "narıncı qoyun dərisinin" "bənövşəyi qoyun dərisindən" iki dəfə "təhlükəsiz" olduğunu hesab edə bilərik (bu, daha pisdir, həm də qaranlıqda nəzərə çarpır"). Yalnız bir gödəkçə və corabda soyuğa çıxsanız, fərq çox böyük olacaq, buna görə də pencək və qoyun dərisi "müxtəlif ölçülərə malikdir".

...sizin probleminiz var, onu bu dərsin linki ilə Vikipediyada yerləşdirməlisiniz =) =) =)

Sonsuz kiçik ekvivalent funksiyaların bariz nümunəsi sizə tanışdır - bunlar funksiyalardır. ilk diqqətəlayiq hədd .

İlk diqqətəlayiq həddinin həndəsi şərhini verək. Gəlin rəsm çəkək:

Yaxşı, qrafiklərin güclü kişi dostluğu hətta çılpaq gözlə də görünür. A Hətta anam da onları ayıra bilmirdi. Beləliklə, əgər , onda funksiyalar sonsuz kiçik və ekvivalentdir. Fərq cüzi olsa nə olacaq? Sonra limit sinus siz bilərsiniz əvəz et"X": , və ya sinus ilə aşağıda "x": . Əslində, ilk diqqətəlayiq həddi həndəsi sübut kimi ortaya çıxdı =)

Eynilə, yeri gəlmişkən, bir nümunə göstərmək olar hər hansı bir gözəl məhdudiyyət, birə bərabərdir.

! Diqqət! Obyektlərin ekvivalentliyi cisimlərin təsadüfü demək deyil! Narıncı və bənövşəyi rəngli qoyun dəriləri eyni dərəcədə istidir, lakin onlar fərqli qoyun dəriləridir. Funksiyalar sıfıra yaxın praktiki olaraq fərqlənmir, lakin bunlar iki fərqli funksiyadır.

Təyinat: Ekvivalentlik tilda işarəsi ilə göstərilir.
Məsələn: – “x-in sinüsü x-ə bərabərdir” əgər .

Yuxarıdakılardan çox vacib bir nəticə çıxır: iki sonsuz kiçik funksiya ekvivalentdirsə, onda biri digəri ilə əvəz edilə bilər. Bu texnika praktikada geniş istifadə olunur və indi necə olacağını görəcəyik:

İçərisində diqqətəlayiq ekvivalentlər

Praktik nümunələri həll etmək üçün sizə lazım olacaq əlamətdar ekvivalentlər cədvəli. Tələbə tək bir çoxhədli ilə yaşaya bilməz, ona görə də gələcək fəaliyyət sahəsi çox geniş olacaqdır. Əvvəlcə sonsuz kiçik ekvivalent funksiyalar nəzəriyyəsindən istifadə edərək, dərsin birinci hissəsinin nümunələrinə nəzər salaq. Möhtəşəm məhdudiyyətlər. Həll nümunələri, burada aşağıdakı məhdudiyyətlər aşkar edilmişdir:

1) Gəlin limiti həll edək. Sonsuz kiçik say funksiyasını ekvivalent sonsuz kiçik funksiya ilə əvəz edək:

Niyə belə bir dəyişdirmə mümkündür? Çünki sonsuz olaraq sıfıra yaxındır funksiyanın qrafiki praktiki olaraq funksiyanın qrafiki ilə üst-üstə düşür.

Bu nümunədə cədvəl ekvivalentindən istifadə etdik. Rahatdır ki, "alfa" parametri yalnız "x" deyil, həm də mürəkkəb bir funksiya ola bilər, sıfıra meyl edən.

2) Gəlin həddi tapaq. Məxrəcdə eyni ekvivalentdən istifadə edirik, bu halda:

Nəzərə alın ki, sinus əvvəlcə kvadratın altında yerləşirdi, buna görə də ilk mərhələdə onu tamamilə kvadratın altına yerləşdirmək lazımdır.

Nəzəriyyəni unutmayaq: ilk iki nümunədə sonlu ədədlər əldə edilmişdir, yəni eyni kiçiklik sırasının say və məxrəcləri.

3) Gəlin limiti tapaq. Sonsuz kiçik say funksiyasını ekvivalent funksiya ilə əvəz edək , Harada:

Burada məxrəcdən daha yüksək kiçiklik sırasının payı. Lilliput (və ekvivalent Lilliput) -dən daha tez sıfıra çatır.

4) Gəlin limiti tapaq. Sonsuz kiçik say funksiyasını ekvivalent funksiya ilə əvəz edək, burada:

Və burada, əksinə, məxrəc kiçikliyin daha yüksək sırası, cırtdan cırtdandan (və onun ekvivalent cırtdanından) daha sürətli sıfıra qaçır.

Təcrübədə diqqətəlayiq ekvivalentliklərdən istifadə edilməlidirmi? Olmalıdır, amma həmişə deyil. Beləliklə, çox mürəkkəb olmayan hədləri (indicə nəzərdən keçirilənlər kimi) əlamətdar ekvivalentlər vasitəsilə həll etmək məqsədəuyğun deyil. Siz hackworkdə ittiham oluna bilərsiniz və onları triqonometrik düsturlardan və ilk gözəl hədddən istifadə edərək standart şəkildə həll etməyə məcbur ola bilərsiniz. Bununla belə, sözügedən vasitədən istifadə edərək, həlli yoxlamaq və ya dərhal düzgün cavabı tapmaq çox faydalıdır. Dərsin 14 nömrəli nümunəsi xarakterikdir Limitlərin həlli üsulları:

Son versiyada, dəyişən dəyişikliyi ilə kifayət qədər böyük bir tam həll hazırlamaq məsləhətdir. Ancaq hazır cavab səthdədir - biz zehni olaraq ekvivalentlikdən istifadə edirik: .

Və bir daha həndəsi məna: nə üçün paylayıcıdakı funksiyanı funksiya ilə əvəz etmək icazəlidir? Sıfıra yaxın sonsuz yaxın onların qrafiklərini ancaq güclü mikroskop altında ayırd etmək olar.

Həllin yoxlanılmasından əlavə, əlamətdar ekvivalentlər daha iki halda istifadə olunur:

– nümunə kifayət qədər mürəkkəb olduqda və ya adi şəkildə ümumiyyətlə həll edilmədikdə;
– əlamətdar ekvivalentlərin şərtlə tətbiq edilməsi lazım olduqda.

Daha mənalı vəzifələri nəzərdən keçirək:

Misal 4

Həddini tapın

Gündəm sıfırdan sıfıra qədər qeyri-müəyyənlikdir və vəziyyət sərhəddədir: həll standart şəkildə həyata keçirilə bilər, lakin çoxlu transformasiyalar olacaq. Mənim fikrimcə, burada gözəl ekvivalentliklərdən istifadə etmək olduqca məqsədəuyğundur:

Sonsuz kiçik funksiyaları ekvivalent funksiyalarla əvəz edək. Burada:

Hamısı budur!

Yeganə texniki nüans: əvvəlcə tangens kvadrat idi, ona görə də dəyişdirildikdən sonra arqument də kvadratlaşdırılmalıdır.

Misal 5

Həddini tapın

Bu hədd triqonometrik düsturlar vasitəsilə həll olunur və gözəl məhdudiyyətlər, amma həll yenə çox xoş olmayacaq. Bu, öz başınıza həll etməyiniz üçün bir nümunədir, hesablayıcını çevirərkən xüsusilə diqqətli olun. Dərəcələrlə bağlı hər hansı bir qarışıqlıq varsa, onu məhsul kimi təqdim edin:

Misal 6

Həddini tapın

Ancaq bu, standart bir şəkildə həll etmək çox çətin olduqda çətin bir haldır. Bəzi gözəl ekvivalentlərdən istifadə edək:

Sonsuz kiçikləri ekvivalentlərlə əvəz edək. Burada:

Nəticə sonsuzdur, yəni məxrəc saydan daha yüksək kiçiklik sırasına malikdir.

Məşq üst geyimsiz sürətlə gedirdi =)

Misal 7

Həddini tapın

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Loqarifmlə necə davranacağınızı düşünün ;-)

Əlamətdar ekvivalentlərin limitlərin həlli üçün digər üsullarla birlikdə istifadə edilməsi qeyri-adi deyil:

Misal 8

Ekvivalent sonsuz kiçiklər və digər çevrilmələrdən istifadə edərək funksiyanın limitini tapın

Qeyd edək ki, burada tələb olunan bəzi diqqətəlayiq ekvivalentlər var.

Qərar veririk:

İlk addımda biz əlamətdar ekvivalentlərdən istifadə edirik. Burada:

Sinus ilə hər şey aydındır: . Loqarifmlə nə etmək lazımdır? Loqarifmanı formada təqdim edək və ekvivalentliyi tətbiq edək. Anladığınız kimi, bu halda və

İkinci mərhələdə dərsdə müzakirə olunan texnikanı tətbiq edəcəyik.

Göstərildiyi kimi, sonsuz kiçik funksiyaların cəmi, fərqi və hasili sonsuz kiçikdir, lakin xüsusi haqqında eyni şeyi demək olmaz: bir sonsuz kiçiki digərinə bölmək müxtəlif nəticələr verə bilər.

Məsələn, a(x) = 2x, p(x) = 3x olarsa, onda

Əgər a(x) = x 2, P (l;) = x 3 olarsa, onda

Müvafiq terminologiyadan istifadə edərək sonsuz kiçik funksiyaların müqayisəsi qaydalarını təqdim etmək məqsədəuyğundur.

Qoy X -» A a(x) və p(.v) funksiyaları sonsuz kiçikdir. Sonra dəyərindən asılı olaraq onların müqayisəsi üçün aşağıdakı variantlar fərqləndirilir ilə bir nöqtədə məhdudlaşdırın A onların əlaqəsi:

• 1. Əgər ilə= I, onda a(x) və P(x) ekvivalent sonsuz kiçikdir: a(x) - p(x).
• 2. Əgər ilə= 0, onda a(x) p(x)-dən daha yüksək sıralı sonsuz kiçikdir (yaxud kiçikliyin daha yüksək sırasına malikdir).
• 3. Əgər ilə = d* 0 (d- nömrə), sonra Oh) və P(x) eyni tərtibli sonsuz kiçiklərdir.

Çox vaxt bir sonsuz kiçikin digərinə nisbətdə daha yüksək kiçiklik nizamının sonsuz kiçik olduğunu bilmək kifayət deyil; bu sıranın böyüklüyünü də qiymətləndirmək lazımdır. Buna görə də aşağıdakı qayda istifadə olunur.

4. Əgər Mm - - =d*0, onda a(x) - *->lp"(*) ilə bağlı l-ci sıranın sonsuz kiçikidir.

hərfi mənada P(x). Bu vəziyyətdə simvoldan istifadə edin o "o" kiçik"): a(x) = o(P(x)).

Qeyd edək ki, x -»oo üçün sonsuz kiçik funksiyaları müqayisə etmək üçün oxşar qaydalar etibarlıdır, X-" -oo, X-> +«>, həmçinin x -» nöqtəsində birtərəfli limitlər olduqda A sol və sağ.

Müqayisə qaydalarından bir mühüm xüsusiyyət gəlir:

onda bir hədd var 1 və bu həddlərin hər ikisi bərabərdir.

Bir sıra hallarda sübut edilmiş bəyanat limitlərin hesablanmasını və təxminlərin aparılmasını asanlaşdırır.

Gəlin bir neçə nümunəyə baxaq.

1. Günah funksiyaları X Və X saat X-» 0 (8.11) limitinə görə sonsuz kiçiklərə ekvivalentdir, yəni. saat X -> 0 günah X ~ X.

Həqiqətən, bizdə:

• 2. Günah funksiyaları kh və günah X q-dadır: -> Eyni ardıcıllığın 0 sonsuz kiçikləri, çünki
• 3. a(x) = cos funksiyası ah - cos bx (a * b) Mən oturdum X-» Sonsuz kiçik.v ilə bağlı ikinci kiçiklik sırasının 0 sonsuz kiçik, çünki

Misal 7. Lim tapın

*-+° x + x"

Həll. Günahdan bəri kh ~ kh Və X + x 2 ~ X:

Sonsuz böyük funksiyaların müqayisəsi

Sonsuz böyük funksiyalar üçün oxşar müqayisə qaydaları da tətbiq edilir, yeganə fərq onlar üçün “kiçiklik sırası” ifadəsi əvəzinə “böyümə sırası” termininin istifadə edilməsidir.

Deyilənləri misallarla izah edək.

1. Funksiyalar f(x) = (2 + x)/x və g(x) = 2/x saat X-» 0 sonsuz böyükə bərabərdir, çünki

Funksiya məlumatları /(X) və #(*) eyni artım sırasına malikdir.

2. Funksiyaların artım sıralarını müqayisə edək f(x) = 2x?+Mən və g(x)= x 3 + X saat X-> niyə onların nisbətinin həddini tapın:

Bundan nəticə çıxır ki, funksiya g(x) / (x) funksiyasından daha yüksək artım sırasına malikdir.

3. x -» °o /(x) = 3x 3 + üçün sonsuz böyük funksiyalar X və #(x) = x 3 - 4x 2 eyni böyümə sırasına malikdir, çünki

4. /(x) = x 3 + 2x + 3 funksiyası x -» üçün sonsuz böyükdür.

sonsuz böyük funksiyaya görə üçüncü sıra g(x) = x - Mən, çünki

Sonsuz kiçik funksiyalar nədir

Bununla belə, funksiya yalnız müəyyən bir nöqtədə sonsuz kiçik ola bilər. Şəkil 1-də göstərildiyi kimi, funksiya yalnız 0 nöqtəsində sonsuz kiçikdir.

Şəkil 1. Sonsuz kiçik funksiya

Əgər iki funksiyanın bölünməsinin həddi 1 ilə nəticələnirsə, funksiyalar ekvivalent sonsuz kiçik hesab olunur, çünki x a nöqtəsinə meyl edir.

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Tərif

Əgər f(x), g(x) funksiyaları $x > a$ üçün sonsuz kiçikdirsə, onda:

• Aşağıdakı şərt yerinə yetirilərsə, f(x) funksiyası g(x)-ə nisbətən daha yüksək dərəcəli sonsuz kiçik adlanır:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =0\]
• f(x) funksiyası 0-dan fərqlidirsə və həddi sonludursa, g(x)-ə münasibətdə n sıralı sonsuz kiçik adlanır:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g^(n) (x)) =A\]

Misal 1

$y=x^3$ funksiyası y=5x funksiyası ilə müqayisədə x>0 üçün daha yüksək tərtibli sonsuz kiçikdir, çünki onların nisbət həddi 0-dır, bu, $y=x funksiyasının olması ilə izah olunur. ^3$ daha tez sıfır dəyərə meyl edir:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim )\limits_(x\to 0) ) x=0\]

Misal 2

y=x2-4 və y=x2-5x+6 funksiyaları x>2 üçün eyni tərtibli sonsuz kiçikdir, çünki onların nisbət həddi 0-a bərabər deyil:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim )\limits_(x\ 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac((x+ 2) ))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]

Ekvivalent sonsuz kiçiklərin xassələri

1. İki ekvivalent sonsuz kiçiklər arasındakı fərq onların hər birinə nisbətən daha yüksək dərəcəli sonsuz kiçikdir.
2. Əgər müxtəlif düzənli bir neçə sonsuz kiçiklərin cəmindən daha yüksək dərəcəli sonsuz kiçikləri atırıqsa, əsas hissə adlanan qalan hissə bütün cəminə ekvivalentdir.

Birinci xassədən belə çıxır ki, ekvivalent sonsuz kiçiklər ixtiyari kiçik nisbi xəta ilə təxminən bərabər ola bilər. Buna görə də ≈ işarəsi həm sonsuz kiçiklərin ekvivalentliyini qeyd etmək, həm də onların kifayət qədər kiçik qiymətlərinin təxmini bərabərliyini yazmaq üçün istifadə olunur.

Limitləri taparkən, hesablamaların sürəti və rahatlığı üçün ekvivalent funksiyaların dəyişdirilməsindən istifadə etmək çox vaxt lazımdır. Ekvivalent sonsuz kiçiklərin cədvəli aşağıda təqdim olunur (Cədvəl 1).

Cədvəldə verilmiş sonsuz kiçiklərin ekvivalentliyi bərabərliyə əsasən sübut edilə bilər:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Cədvəl 1

Misal 3

Sonsuz kiçik ln(1+x) və x-in ekvivalentliyini sübut edək.

Sübut:

1. Kəmiyyətlərin nisbətinin həddini tapaq
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) \]
2. Bunun üçün loqarifmin xassəsini tətbiq edirik:
\[\frac(\ln (1+x))(x) =\frac(1)(x) \ln (1+x)=\ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \] \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \]
3. Loqarifmik funksiyanın tərif sahəsində davamlı olduğunu bilərək, limitin işarəsini və loqarifmik funksiyanı dəyişə bilərik:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+) x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to a) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ sağ)\]
4. x sonsuz kiçik kəmiyyət olduğundan, limit 0-a meyl edir. Bu o deməkdir ki:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+) x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ sağ)=\ln e=1\]

(ikinci gözəl limit tətbiq olundu)